【例32】lim_(xtoinfty)(3x^2+5)/(5x+3)sin(2)/(x)=____.

本题考查函数极限的计算，解题思路是通过变量代换将原式转化为关于新变量的极限，再利用等价无穷小替换简化计算。

1. 变量代换：
   令$y = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$y \to 0$。
   将$x=\frac{1}{y}$代入原式$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+5}{5x+3}\sin\frac{2}{x}$，可得：
   $\lim_{y \to 0} \frac{3(\frac{1}{y})^{2} + 5}{5(\frac{1}{y}) + 3} \sin(2y)$
   对分子分母进行化简，分子$3(\frac{1}{y})^{2} + 5=\frac{3}{y^{2}} + 5=\frac{3 + 5y^{2}}{y^{2}}$，分母$5(\frac{1}{y}) + 3=\frac{5}{y} + 3=\frac{5 + 3y}{y}$，则原式变为$\lim_{y \to 0} \frac{\frac{3 + 5y^{2}}{y^{2}}}{\frac{5 + 3y}{y}} \sin(2y)=\lim_{y \to 0} \frac{3 + 5y^{2}}{y(5 + 3y)} \sin(2y)$。
2. 等价无穷小替换：
   当$y \to 0$时，$\sin(2y) \sim 2y$（等价无穷小的定义：在某一过程中，$\alpha(y)$和$\beta(y)$都是无穷小量，且$\lim_{y \to 0}\frac{\alpha(y)}{\beta(y)} = 1$，则称$\alpha(y)$和$\beta(y)$是等价无穷小，记为$\alpha(y) \sim \beta(y)$）。
   将$\sin(2y)$替换为$2y$，则$\lim_{y \to 0} \frac{3 + 5y^{2}}{y(5 + 3y)} \sin(2y)=\lim_{y \to 0} \frac{(3 + 5y^{2}) \cdot 2y}{y(5 + 3y)}$。
3. 化简并计算极限：
   约去分子分母中的$y$，得到$\lim_{y \to 0} \frac{2(3 + 5y^{2})}{5 + 3y}$。
   将$y = 0$代入$\frac{2(3 + 5y^{2})}{5 + 3y}$，可得$\frac{2\times(3 + 5\times0^{2})}{5 + 3\times0}=\frac{2\times3}{5}=\frac{6}{5}$。