题目
已知某类灯泡的使用寿命X(单位:小时)服从正态分布N(1000, 40000)，若一用户购买了该类灯泡，那么该灯泡使用寿命超过1100小时的概率为()。(参考数据: phi(1)=0.8413 phi(1.5)=0.9332)A. 0.1587B. 0.3085C. 0.4332D. 0.8413
已知某类灯泡的使用寿命X(单位:小时)服从正态分布$N(1000, 40000)$，若一用户购买了该类灯泡，那么该灯泡使用寿命超过1100小时的概率为()。(参考数据: $\phi(1)=0.8413 \ \phi(1.5)=0.9332$)
A. 0.1587
B. 0.3085
C. 0.4332
D. 0.8413
题目解答
答案
B. 0.3085
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
灯泡的使用寿命 $X$ 服从正态分布 $N(1000, 40000)$，其中均值 $\mu = 1000$，方差 $\sigma^2 = 40000$，因此标准差 $\sigma = \sqrt{40000} = 200$。
步骤 2：计算灯泡使用寿命超过1100小时的z分数
要计算灯泡使用寿命超过1100小时的概率，我们首先需要将1100小时转换为标准正态分布中的z分数。使用z分数公式：\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 对于 $X = 1100$：\[ Z = \frac{1100 - 1000}{200} = \frac{100}{200} = 0.5 \]
步骤 3：查找标准正态分布表中的概率
根据z分数0.5，我们需要查找标准正态分布表中的概率。标准正态分布表提供了 $P(Z \leq z)$ 的值，因此我们需要找到 $P(Z \leq 0.5)$，然后从1中减去它来得到 $P(Z > 0.5)$。从标准正态分布表中，我们发现 $P(Z \leq 0.5) \approx 0.6915$。因此：\[ P(Z > 0.5) = 1 - P(Z \leq 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085 \]
灯泡的使用寿命 $X$ 服从正态分布 $N(1000, 40000)$，其中均值 $\mu = 1000$，方差 $\sigma^2 = 40000$，因此标准差 $\sigma = \sqrt{40000} = 200$。
步骤 2：计算灯泡使用寿命超过1100小时的z分数
要计算灯泡使用寿命超过1100小时的概率，我们首先需要将1100小时转换为标准正态分布中的z分数。使用z分数公式：\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 对于 $X = 1100$：\[ Z = \frac{1100 - 1000}{200} = \frac{100}{200} = 0.5 \]
步骤 3：查找标准正态分布表中的概率
根据z分数0.5，我们需要查找标准正态分布表中的概率。标准正态分布表提供了 $P(Z \leq z)$ 的值，因此我们需要找到 $P(Z \leq 0.5)$，然后从1中减去它来得到 $P(Z > 0.5)$。从标准正态分布表中，我们发现 $P(Z \leq 0.5) \approx 0.6915$。因此：\[ P(Z > 0.5) = 1 - P(Z \leq 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085 \]