15.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别的标志(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,则该次品出自哪一家工厂的可能性最大

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 第（1）问：通过全概率公式，将次品的总概率分解为三家工厂各自贡献的次品概率之和。
2. 第（2）问：利用贝叶斯定理，计算在已知次品的条件下，次品来自各工厂的后验概率，比较后验概率大小得出结论。

破题关键点：

• 正确识别事件关系：次品的产生由三家工厂的份额和次品率共同决定。
• 公式选择：第（1）问用全概率公式求总概率，第（2）问用贝叶斯定理求条件概率。

第（1）题

设事件：

• $A$：取到次品；
• $B_i$（$i=1,2,3$）：元件由第$i$家工厂提供。

根据全概率公式：
$P(A) = \sum_{i=1}^3 P(A|B_i)P(B_i)$

代入数据：

• $P(B_1)=0.15$，$P(A|B_1)=0.02$；
• $P(B_2)=0.80$，$P(A|B_2)=0.01$；
• $P(B_3)=0.05$，$P(A|B_3)=0.03$。

计算得：
$P(A) = 0.02 \times 0.15 + 0.01 \times 0.80 + 0.03 \times 0.05 = 0.003 + 0.008 + 0.0015 = 0.0125$

第（2）题

根据贝叶斯定理：
$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$

分别计算三家工厂的后验概率：

1. 第1家：
   $P(B_1|A) = \frac{0.02 \times 0.15}{0.0125} = \frac{0.003}{0.0125} = 0.24$

2. 第2家：
   $P(B_2|A) = \frac{0.01 \times 0.80}{0.0125} = \frac{0.008}{0.0125} = 0.64$

3. 第3家：
   $P(B_3|A) = \frac{0.03 \times 0.05}{0.0125} = \frac{0.0015}{0.0125} = 0.12$

比较后验概率，$P(B_2|A)=0.64$最大，因此次品最可能来自第2家工厂。