题目
2、设汽缸的直径X~N(101,0.3²)，活塞的直径Y~N(100,0.4²)，试求：活塞能够装进汽缸的概率。(要求：结果用Φ(x)的值表示，x>0)
2、设汽缸的直径X~N(101,0.3²)，活塞的直径Y~N(100,0.4²)，试求：活塞能够装进汽缸的概率。(要求：结果用Φ(x)的值表示，x>0)
题目解答
答案
设 $Z = X - Y$，则 $Z \sim N(1, 0.5^2)$。
求 $P(X > Y)$ 即 $P(Z > 0)$：
\[
P(Z > 0) = P\left(\frac{Z - 1}{0.5} > \frac{0 - 1}{0.5}\right) = P(U > -2) = 1 - P(U \leq -2)
\]
利用标准正态分布的对称性：
\[
P(U \leq -2) = 1 - \Phi(2) \quad \Rightarrow \quad P(U > -2) = \Phi(2)
\]
**答案：**
\[
\boxed{\Phi(2)} \quad \text{或} \quad \boxed{1 - \Phi(-2)}
\]
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $Z = X - Y$，其中 $X$ 为汽缸的直径，$Y$ 为活塞的直径。根据题目，$X \sim N(101, 0.3^2)$，$Y \sim N(100, 0.4^2)$。
步骤 2：计算 $Z$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的正态分布随机变量，$Z$ 也是正态分布随机变量。$Z$ 的均值为 $E(Z) = E(X) - E(Y) = 101 - 100 = 1$，方差为 $Var(Z) = Var(X) + Var(Y) = 0.3^2 + 0.4^2 = 0.25$，因此 $Z \sim N(1, 0.5^2)$。
步骤 3：计算活塞能够装进汽缸的概率
活塞能够装进汽缸的概率即为 $P(X > Y)$，等价于 $P(Z > 0)$。将 $Z$ 标准化，得到 $P(Z > 0) = P\left(\frac{Z - 1}{0.5} > \frac{0 - 1}{0.5}\right) = P(U > -2)$，其中 $U$ 是标准正态分布随机变量。
步骤 4：利用标准正态分布的对称性
利用标准正态分布的对称性，$P(U > -2) = 1 - P(U \leq -2) = 1 - (1 - \Phi(2)) = \Phi(2)$，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
设 $Z = X - Y$，其中 $X$ 为汽缸的直径，$Y$ 为活塞的直径。根据题目，$X \sim N(101, 0.3^2)$，$Y \sim N(100, 0.4^2)$。
步骤 2：计算 $Z$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的正态分布随机变量，$Z$ 也是正态分布随机变量。$Z$ 的均值为 $E(Z) = E(X) - E(Y) = 101 - 100 = 1$，方差为 $Var(Z) = Var(X) + Var(Y) = 0.3^2 + 0.4^2 = 0.25$，因此 $Z \sim N(1, 0.5^2)$。
步骤 3：计算活塞能够装进汽缸的概率
活塞能够装进汽缸的概率即为 $P(X > Y)$，等价于 $P(Z > 0)$。将 $Z$ 标准化，得到 $P(Z > 0) = P\left(\frac{Z - 1}{0.5} > \frac{0 - 1}{0.5}\right) = P(U > -2)$，其中 $U$ 是标准正态分布随机变量。
步骤 4：利用标准正态分布的对称性
利用标准正态分布的对称性，$P(U > -2) = 1 - P(U \leq -2) = 1 - (1 - \Phi(2)) = \Phi(2)$，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。