题目
例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800~7200盏之间的概率.
例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开
灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，
试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在
6800~7200盏之间的概率.
题目解答
答案
设 $X$ 表示夜晚同时开着的灯数，$X \sim B(10000, 0.7)$。
期望 $E(X) = 7000$，方差 $D(X) = 2100$。
求 $P\{6800 < X < 7200\}$，即 $P\{|X - 7000| < 200\}$。
由切比雪夫不等式：
\[
P\{|X - E(X)| < \epsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}
\]
取 $\epsilon = 200$，得：
\[
P\{|X - 7000| < 200\} \geq 1 - \frac{2100}{200^2} = 1 - 0.0525 = 0.9475
\]
**答案：** $\boxed{0.9475}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 表示夜晚同时开着的灯数，由于每盏灯开灯的概率为0.7，且灯的开、关是相互独立的，因此 $X$ 服从二项分布，即 $X \sim B(10000, 0.7)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 10000 \times 0.7 = 7000$，方差 $D(X) = np(1-p) = 10000 \times 0.7 \times 0.3 = 2100$。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
我们需要估计夜晚同时开着的灯数在6800~7200盏之间的概率，即求 $P\{6800 < X < 7200\}$，等价于求 $P\{|X - 7000| < 200\}$。根据切比雪夫不等式：\[ P\{|X - E(X)| < \epsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2} \] 取 $\epsilon = 200$，代入期望和方差的值，得：\[ P\{|X - 7000| < 200\} \geq 1 - \frac{2100}{200^2} = 1 - 0.0525 = 0.9475 \]
设 $X$ 表示夜晚同时开着的灯数，由于每盏灯开灯的概率为0.7，且灯的开、关是相互独立的，因此 $X$ 服从二项分布，即 $X \sim B(10000, 0.7)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 10000 \times 0.7 = 7000$，方差 $D(X) = np(1-p) = 10000 \times 0.7 \times 0.3 = 2100$。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
我们需要估计夜晚同时开着的灯数在6800~7200盏之间的概率，即求 $P\{6800 < X < 7200\}$，等价于求 $P\{|X - 7000| < 200\}$。根据切比雪夫不等式：\[ P\{|X - E(X)| < \epsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2} \] 取 $\epsilon = 200$，代入期望和方差的值，得：\[ P\{|X - 7000| < 200\} \geq 1 - \frac{2100}{200^2} = 1 - 0.0525 = 0.9475 \]