题目
设 X_1, X_2, Y 均为随机变量，已知 (cov)(X_1, Y)= -1，(cov)(X_2, Y)= 3，则 (cov)(X_1 + 2X_2, Y)= ( ).A. 2B. 1C. 4D. 5
设 $X_1, X_2, Y$ 均为随机变量，已知 $\text{cov}(X_1, Y)= -1$，$\text{cov}(X_2, Y)= 3$，则 $\text{cov}(X_1 + 2X_2, Y)= (\quad)$.
A. 2
B. 1
C. 4
D. 5
题目解答
答案
D. 5
解析
步骤 1：应用协方差的线性性质
根据协方差的性质，对于任意随机变量 $X_1, X_2, Y$ 和常数 $a, b$，有 $\text{cov}(aX_1 + bX_2, Y) = a\text{cov}(X_1, Y) + b\text{cov}(X_2, Y)$。这里，$a=1$，$b=2$，$X_1, X_2, Y$ 分别为题目中的随机变量，因此可以应用此性质。
步骤 2：代入已知的协方差值
根据题目给出的条件，$\text{cov}(X_1, Y) = -1$，$\text{cov}(X_2, Y) = 3$。将这些值代入步骤 1 中的公式，得到 $\text{cov}(X_1 + 2X_2, Y) = 1 \times (-1) + 2 \times 3$。
步骤 3：计算结果
计算上述表达式，得到 $\text{cov}(X_1 + 2X_2, Y) = -1 + 6 = 5$。
根据协方差的性质，对于任意随机变量 $X_1, X_2, Y$ 和常数 $a, b$，有 $\text{cov}(aX_1 + bX_2, Y) = a\text{cov}(X_1, Y) + b\text{cov}(X_2, Y)$。这里，$a=1$，$b=2$，$X_1, X_2, Y$ 分别为题目中的随机变量，因此可以应用此性质。
步骤 2：代入已知的协方差值
根据题目给出的条件，$\text{cov}(X_1, Y) = -1$，$\text{cov}(X_2, Y) = 3$。将这些值代入步骤 1 中的公式，得到 $\text{cov}(X_1 + 2X_2, Y) = 1 \times (-1) + 2 \times 3$。
步骤 3：计算结果
计算上述表达式，得到 $\text{cov}(X_1 + 2X_2, Y) = -1 + 6 = 5$。