g1.(2018山东财经类)不定积分int(dx)/(x(x+1))的结果为( ).A. ln|(x+1)/(x)|+CB. ln|(x)/(x+1)|+CC. ln(x+1)/(x)+CD. ln(x)/(x+1)+C

考查要点：本题主要考查有理分式的不定积分，特别是利用部分分式分解法将分式拆分为简单分式之和，进而逐项积分的能力。

解题核心思路：

1. 部分分式分解：将被积函数$\frac{1}{x(x+1)}$分解为$\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$的形式，通过解方程确定常数$A$和$B$。
2. 逐项积分：对分解后的简单分式分别积分，利用$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$的积分公式。
3. 化简结果：将积分结果合并为对数形式，并注意绝对值符号的正确使用。

破题关键点：

• 正确分解部分分式，确保系数$A$和$B$的准确性。
• 积分后对数相减的化简，注意符号对结果的影响。

步骤1：部分分式分解
将$\frac{1}{x(x+1)}$分解为$\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$，通分后得：
$1 = A(x+1) + Bx.$
令$x=0$，得$1 = A \cdot 1 \Rightarrow A=1$；
令$x=-1$，得$1 = B \cdot (-1) \Rightarrow B=-1$。
因此，分解结果为：
$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}.$

步骤2：逐项积分
对分解后的分式分别积分：
$\int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C.$

步骤3：化简结果
利用对数性质$\ln a - \ln b = \ln\left|\frac{a}{b}\right|$，得：
$\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C.$

选项分析：

• 选项B正确，与化简结果一致。
• 选项A的分子分母颠倒，对应结果为$-\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C$，与正确结果不符。
• 选项C、D未包含绝对值符号，不符合不定积分的标准形式。