题目
83401E. 一种混杂的小麦品种，株高的标准差为sigma_(0)=14cm，经提纯后随机抽取10株，它们的株高（以cm计）为：90，105，101，95，100，100，101，105，93，97能否认为提纯后群体是否比原群体整齐？取显著性水平α=0.05，并设小麦株高服从N(mu,sigma^2)。
83401E. 一种混杂的小麦品种，株高的标准差为$\sigma_{0}=14cm$，经提纯后随机抽取10株，它们的株高（以cm计）为：
90，105，101，95，100，100，101，105，93，97
能否认为提纯后群体是否比原群体整齐？取显著性水平α=0.05，并设小麦株高服从$N(\mu,\sigma^{2})$。
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
$\bar{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = 98.7$
2. **计算样本方差**：
$s^2 = \frac{1}{9} \sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 24.2333$
3. **假设检验**：
$H_0: \sigma^2 \geq 196$（原方差）
$H_1: \sigma^2 < 196$（方差减小）
4. **计算检验统计量**：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \approx 1.1128$
5. **确定临界值**：
$\chi^2_{0.05,9} = 3.325$
6. **结论**：
$\chi^2 < 3.325$，拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。
**答案**：提纯后群体比原群体更整齐。
解析
考查要点：本题主要考查方差的假设检验，具体为单侧卡方检验的应用，判断提纯后小麦群体的整齐度（方差）是否显著小于原群体。
解题核心思路：
- 明确检验方向：题目要求判断提纯后群体是否更整齐，即检验方差是否减小，属于左侧检验。
- 确定检验统计量：使用卡方统计量 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$，其中 $s^2$ 为样本方差，$\sigma_0^2$ 为原方差。
- 比较临界值：通过卡方分布表查找临界值 $\chi^2_{\alpha, n-1}$，若检验统计量小于临界值，则拒绝原假设。
破题关键点：
- 正确计算样本方差：注意自由度为 $n-1$。
- 左侧检验的临界值选择：需查找下侧分位数 $\chi^2_{\alpha, n-1}$。
1. 计算样本均值
样本均值 $\bar{x}$ 为：
$\bar{x} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{90 + 105 + 101 + 95 + 100 + 100 + 101 + 105 + 93 + 97}{10} = 98.7 \, \text{cm}.$
2. 计算样本方差
样本方差 $s^2$ 为：
$s^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 \approx \frac{218.1}{9} \approx 24.2333 \, \text{cm}^2.$
3. 建立假设检验
- 原假设 $H_0: \sigma^2 \geq 196$（提纯后方差不小于原方差）。
- 备择假设 $H_1: \sigma^2 < 196$（提纯后方差更小）。
4. 计算检验统计量
卡方统计量为：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{9 \times 24.2333}{196} \approx 1.1128.$
5. 确定临界值
自由度 $n-1 = 9$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，查卡方分布表得临界值：
$\chi^2_{0.05,9} = 3.325.$
6. 作出结论
由于 $\chi^2 = 1.1128 < 3.325$，检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，接受备择假设，认为提纯后群体比原群体更整齐。