模型存在完全多重共线性时,下列判断正确的是()A. 参数的估计值不确定B. 只能估计参数的线性组合C. 参数估计值的方差无限大D. 模型的判定系数为1

本题考查完全多重共线性对模型参数估计的影响这一知识点。解题思路是分别分析完全多重共线性下参数估计值、参数估计值的方差以及模型判定系数的情况。

1. 分析参数估计值

在多元线性回归模型 $Y = X\beta+\mu$ 中，参数的普通最小二乘估计量为 $\hat{\beta}=(X'X)^{-1}X'Y$。当模型存在完全多重共线性时，意味着解释变量之间存在精确的线性关系，此时 $X'X$ 矩阵是奇异矩阵，其行列式 $\vert X'X\vert = 0$。
根据逆矩阵的定义，只有非奇异矩阵（行列式不为零的矩阵）才有逆矩阵，所以 $(X'X)^{-1}$ 不存在，也就无法得到唯一确定的参数估计值 $\hat{\beta}$，即参数的估计值不确定，故选项A正确。

2. 分析参数的线性组合估计

由于无法直接估计单个参数，但可以通过对解释变量的线性组合进行变换，使得变换后的解释变量之间不存在完全多重共线性，从而可以估计参数的线性组合。例如，若 $X_2 = kX_1$（$k$ 为常数），那么可以将模型中的 $X_2$ 用 $X_1$ 表示，进而估计参数的线性组合，所以选项B正确。

3. 分析参数估计值的方差

参数估计值 $\hat{\beta}$ 的方差 - 协方差矩阵为 $\text{Var}(\hat{\beta})=\sigma^{2}(X'X)^{-1}$。因为存在完全多重共线性时 $(X'X)^{-1}$ 不存在，从数学意义上可以理解为其元素会趋于无穷大，所以参数估计值的方差会无限大，选项C正确。

4. 分析模型的判定系数

判定系数 $R^{2}=\frac{ESS}{TSS}=1 - \frac{RSS}{TSS}$，其中 $ESS$ 是回归平方和，$TSS$ 是总离差平方和，$RSS$ 是残差平方和。完全多重共线性并不影响 $R^{2}$ 的计算，它与是否存在完全多重共线性没有必然联系，$R^{2}$ 不一定为1，选项D错误。