题目
2.一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的5个产品中的次品数，则X的分布律为_____.
2.一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的5个产品中的次品数，则X的分布律为_____.
题目解答
答案
设 $X$ 表示任意取出的5个产品中的次品数，总共有100个产品，其中10个次品。则 $X$ 的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5。根据超几何分布公式，其概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \frac{\binom{10}{k} \binom{90}{5-k}}{\binom{100}{5}}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
\]
计算得：
\[
\boxed{
\begin{array}{c|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
P & 0.5838 & 0.3394 & 0.0702 & 0.0064 & 0.00025 & \approx 0 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：确定问题类型
问题涉及从一批产品中随机抽取5个产品，其中包含次品数的分布。这是一个典型的超几何分布问题，因为是从有限总体中不放回地抽取样本。
步骤 2：确定超几何分布的参数
超几何分布的参数包括总体大小N，总体中成功状态的个数K，以及样本大小n。在这个问题中，N=100，K=10，n=5。
步骤 3：计算超几何分布的概率
超几何分布的概率质量函数为：\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \] 其中，k是样本中成功状态的个数，即次品数。在这个问题中，k的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5。分别计算每个k值的概率。
步骤 4：计算每个k值的概率
- 当k=0时，\[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{0} \binom{90}{5}}{\binom{100}{5}} \approx 0.5838 \]
- 当k=1时，\[ P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1} \binom{90}{4}}{\binom{100}{5}} \approx 0.3394 \]
- 当k=2时，\[ P(X = 2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{90}{3}}{\binom{100}{5}} \approx 0.0702 \]
- 当k=3时，\[ P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{90}{2}}{\binom{100}{5}} \approx 0.0064 \]
- 当k=4时，\[ P(X = 4) = \frac{\binom{10}{4} \binom{90}{1}}{\binom{100}{5}} \approx 0.00025 \]
- 当k=5时，\[ P(X = 5) = \frac{\binom{10}{5} \binom{90}{0}}{\binom{100}{5}} \approx 0 \]
问题涉及从一批产品中随机抽取5个产品，其中包含次品数的分布。这是一个典型的超几何分布问题，因为是从有限总体中不放回地抽取样本。
步骤 2：确定超几何分布的参数
超几何分布的参数包括总体大小N，总体中成功状态的个数K，以及样本大小n。在这个问题中，N=100，K=10，n=5。
步骤 3：计算超几何分布的概率
超几何分布的概率质量函数为：\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \] 其中，k是样本中成功状态的个数，即次品数。在这个问题中，k的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5。分别计算每个k值的概率。
步骤 4：计算每个k值的概率
- 当k=0时，\[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{0} \binom{90}{5}}{\binom{100}{5}} \approx 0.5838 \]
- 当k=1时，\[ P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1} \binom{90}{4}}{\binom{100}{5}} \approx 0.3394 \]
- 当k=2时，\[ P(X = 2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{90}{3}}{\binom{100}{5}} \approx 0.0702 \]
- 当k=3时，\[ P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{90}{2}}{\binom{100}{5}} \approx 0.0064 \]
- 当k=4时，\[ P(X = 4) = \frac{\binom{10}{4} \binom{90}{1}}{\binom{100}{5}} \approx 0.00025 \]
- 当k=5时，\[ P(X = 5) = \frac{\binom{10}{5} \binom{90}{0}}{\binom{100}{5}} \approx 0 \]