题目
9.已知在某十字路口,一周事故发生数的数学期望为2.2,标准差为1.4.-|||-(1)以X表示一年(以52周计)此十字路口事故发生数的算术平均,试用中-|||-心极限定理求X的近似分布,并求 overline {X)lt 2} .-|||-(2)求一年事故发生数小于100的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X的数学期望和方差
根据题目，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4。一年有52周，所以一年事故发生数的算术平均X的数学期望和方差分别为：
$E(X) = E(\frac{1}{52}\sum_{i=1}^{52}X_i) = \frac{1}{52} \sum_{i=1}^{52}E(X_i) = \frac{1}{52} \times 52 \times 2.2 = 2.2$
$D(X) = D(\frac{1}{52}\sum_{i=1}^{52}X_i) = \frac{1}{52^2} \sum_{i=1}^{52}D(X_i) = \frac{1}{52^2} \times 52 \times 1.4^2 = \frac{1.4^2}{52}$
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，X的近似分布为：
$X \sim N(2.2, \frac{1.4^2}{52})$
步骤 3：计算 $P\{ X\lt 2\}$
根据正态分布的性质，可以将 $P\{ X\lt 2\}$ 转换为标准正态分布的计算：
$P\{ X\lt 2\} = P\{ \frac{X - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \lt \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \}$
其中，Z为标准正态分布的随机变量。计算得到：
$P\{ Z \lt \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt -1.080 \} = 1 - \Phi(1.080) = 1 - 0.8485 = 0.1515$
步骤 4：计算一年事故发生数小于100的概率
一年52周，设各周事故发生数为X1,X 2,···,X52.则需计算 p= $P\{ \sum _{i=1}^{52}{X}_{i}\lt 100\} $ ,即 $P\{ 52\overline {X}\lt 100\} $ 用中心极限定理可知所求概率为：
$p = P\{ 52\overline {X}\lt 100\} = P\{ \overline {X}\lt \frac{100}{52}\} = P\{ \frac{\overline {X} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \lt \frac{\frac{100}{52} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt \frac{\frac{100}{52} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \}$
计算得到：
$P\{ Z \lt \frac{\frac{100}{52} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt -1.426 \} = 1 - \Phi(1.426) = 1 - 0.9230 = 0.0770$
根据题目，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4。一年有52周，所以一年事故发生数的算术平均X的数学期望和方差分别为：
$E(X) = E(\frac{1}{52}\sum_{i=1}^{52}X_i) = \frac{1}{52} \sum_{i=1}^{52}E(X_i) = \frac{1}{52} \times 52 \times 2.2 = 2.2$
$D(X) = D(\frac{1}{52}\sum_{i=1}^{52}X_i) = \frac{1}{52^2} \sum_{i=1}^{52}D(X_i) = \frac{1}{52^2} \times 52 \times 1.4^2 = \frac{1.4^2}{52}$
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，X的近似分布为：
$X \sim N(2.2, \frac{1.4^2}{52})$
步骤 3：计算 $P\{ X\lt 2\}$
根据正态分布的性质，可以将 $P\{ X\lt 2\}$ 转换为标准正态分布的计算：
$P\{ X\lt 2\} = P\{ \frac{X - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \lt \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \}$
其中，Z为标准正态分布的随机变量。计算得到：
$P\{ Z \lt \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt -1.080 \} = 1 - \Phi(1.080) = 1 - 0.8485 = 0.1515$
步骤 4：计算一年事故发生数小于100的概率
一年52周，设各周事故发生数为X1,X 2,···,X52.则需计算 p= $P\{ \sum _{i=1}^{52}{X}_{i}\lt 100\} $ ,即 $P\{ 52\overline {X}\lt 100\} $ 用中心极限定理可知所求概率为：
$p = P\{ 52\overline {X}\lt 100\} = P\{ \overline {X}\lt \frac{100}{52}\} = P\{ \frac{\overline {X} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \lt \frac{\frac{100}{52} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt \frac{\frac{100}{52} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \}$
计算得到：
$P\{ Z \lt \frac{\frac{100}{52} - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} \} = P\{ Z \lt -1.426 \} = 1 - \Phi(1.426) = 1 - 0.9230 = 0.0770$