题目
若两个方差均不为0的随机变量X与Y满足Y = 1 + 2 X 则相关系数 R ( X , Y ) = 1 . ( ) A 对 B 错
若两个方差均不为0的随机变量X与Y满足Y = 1 + 2 X 则相关系数 R ( X , Y ) = 1 . ( )
A 对
B 错
题目解答
答案
根据相关系数的计算公式可得
所以本题选A
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的定义，我们有：
$COV(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$
由于 $Y = 1 + 2X$，我们可以将 $Y$ 的期望值 $E[Y]$ 表示为：
$E[Y] = E[1 + 2X] = 1 + 2E[X]$
因此，协方差可以写为：
$COV(X,Y) = E[(X - E[X])(1 + 2X - (1 + 2E[X]))]$
$COV(X,Y) = E[(X - E[X])(2X - 2E[X])]$
$COV(X,Y) = 2E[(X - E[X])^2]$
$COV(X,Y) = 2D(X)$
步骤 2：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有：
$\rho_{XY} = \dfrac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$
由于 $Y = 1 + 2X$，我们可以将 $Y$ 的方差 $D(Y)$ 表示为：
$D(Y) = D(1 + 2X) = 4D(X)$
因此，相关系数可以写为：
$\rho_{XY} = \dfrac{2D(X)}{\sqrt{D(X) \cdot 4D(X)}}$
$\rho_{XY} = \dfrac{2D(X)}{2D(X)}$
$\rho_{XY} = 1$
根据协方差的定义，我们有：
$COV(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$
由于 $Y = 1 + 2X$，我们可以将 $Y$ 的期望值 $E[Y]$ 表示为：
$E[Y] = E[1 + 2X] = 1 + 2E[X]$
因此，协方差可以写为：
$COV(X,Y) = E[(X - E[X])(1 + 2X - (1 + 2E[X]))]$
$COV(X,Y) = E[(X - E[X])(2X - 2E[X])]$
$COV(X,Y) = 2E[(X - E[X])^2]$
$COV(X,Y) = 2D(X)$
步骤 2：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有：
$\rho_{XY} = \dfrac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$
由于 $Y = 1 + 2X$，我们可以将 $Y$ 的方差 $D(Y)$ 表示为：
$D(Y) = D(1 + 2X) = 4D(X)$
因此，相关系数可以写为：
$\rho_{XY} = \dfrac{2D(X)}{\sqrt{D(X) \cdot 4D(X)}}$
$\rho_{XY} = \dfrac{2D(X)}{2D(X)}$
$\rho_{XY} = 1$