题目
4 判断 (5分) 设总体X~N(μ,σ²)，其中μ∈R未知，σ²>0已知，则μ的置信水平1-α置信区间的区间长度L与1-α的关系是1-α越小，区间长度L越小.A. √B. ×
4 判断 (5分) 设总体X~N(μ,σ²)，其中μ∈R未知，σ²>0已知，则μ的置信水平1-α置信区间的区间长度L与1-α的关系是1-α越小，区间长度L越小.
A. √
B. ×
题目解答
答案
A. √
解析
步骤 1：理解置信区间的概念
置信区间是统计学中用来估计总体参数的一个区间估计。对于正态分布总体，当总体方差已知时，总体均值的置信区间可以表示为： \[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：分析置信区间的长度
置信区间的长度 $L$ 可以表示为： \[ L = 2 z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 从公式可以看出，置信区间的长度与 $z_{\alpha/2}$ 成正比。$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，当置信水平 $1-\alpha$ 减小时，$\alpha$ 增大，$\alpha/2$ 增大，导致 $z_{\alpha/2}$ 减小。因此，区间长度 $L$ 随之减小。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，当置信水平 $1-\alpha$ 减小时，置信区间的长度 $L$ 也随之减小。因此，结论是正确的。
置信区间是统计学中用来估计总体参数的一个区间估计。对于正态分布总体，当总体方差已知时，总体均值的置信区间可以表示为： \[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：分析置信区间的长度
置信区间的长度 $L$ 可以表示为： \[ L = 2 z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 从公式可以看出，置信区间的长度与 $z_{\alpha/2}$ 成正比。$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，当置信水平 $1-\alpha$ 减小时，$\alpha$ 增大，$\alpha/2$ 增大，导致 $z_{\alpha/2}$ 减小。因此，区间长度 $L$ 随之减小。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，当置信水平 $1-\alpha$ 减小时，置信区间的长度 $L$ 也随之减小。因此，结论是正确的。