题目
7.设X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 3) 是来自总体X的样本, (X)=mu , (X)=(sigma )^2, μ,σ未知,则-|||-下列估计量中最有效的估计量是 ()-|||-(A) dfrac ({X)_(1)+(X)_(n)}(3) (B) dfrac ({X)_(1)+(X)_(n)}(2) (C) X1 (D) X
题目解答
答案
解析
步骤 1：无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即对于参数 $\mu$，如果 $E(\hat{\mu}) = \mu$，则 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算各选项的期望值
(A) $\dfrac{{X}_{1}+{X}_{n}}{3}$ 的期望值为 $E\left(\dfrac{{X}_{1}+{X}_{n}}{3}\right) = \dfrac{E(X_1) + E(X_n)}{3} = \dfrac{\mu + \mu}{3} = \dfrac{2\mu}{3} \neq \mu$，因此不是无偏估计量。
(B) $X_1 + X_n$ 的期望值为 $E(X_1 + X_n) = E(X_1) + E(X_n) = \mu + \mu = 2\mu \neq \mu$，因此不是无偏估计量。
(C) $X_1$ 的期望值为 $E(X_1) = \mu$，因此是无偏估计量。
(D) $\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的期望值为 $E(\bar{X}) = E\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu = \mu$，因此是无偏估计量。
步骤 3：计算各选项的方差
(C) $X_1$ 的方差为 $D(X_1) = \sigma^2$。
(D) $\bar{X}$ 的方差为 $D(\bar{X}) = D\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{n}$。
步骤 4：比较方差
由于 $n \geq 3$，所以 $\dfrac{\sigma^2}{n} < \sigma^2$，因此 $\bar{X}$ 的方差比 $X_1$ 的方差小，即 $\bar{X}$ 是最有效的估计量。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即对于参数 $\mu$，如果 $E(\hat{\mu}) = \mu$，则 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算各选项的期望值
(A) $\dfrac{{X}_{1}+{X}_{n}}{3}$ 的期望值为 $E\left(\dfrac{{X}_{1}+{X}_{n}}{3}\right) = \dfrac{E(X_1) + E(X_n)}{3} = \dfrac{\mu + \mu}{3} = \dfrac{2\mu}{3} \neq \mu$，因此不是无偏估计量。
(B) $X_1 + X_n$ 的期望值为 $E(X_1 + X_n) = E(X_1) + E(X_n) = \mu + \mu = 2\mu \neq \mu$，因此不是无偏估计量。
(C) $X_1$ 的期望值为 $E(X_1) = \mu$，因此是无偏估计量。
(D) $\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的期望值为 $E(\bar{X}) = E\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu = \mu$，因此是无偏估计量。
步骤 3：计算各选项的方差
(C) $X_1$ 的方差为 $D(X_1) = \sigma^2$。
(D) $\bar{X}$ 的方差为 $D(\bar{X}) = D\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{n}$。
步骤 4：比较方差
由于 $n \geq 3$，所以 $\dfrac{\sigma^2}{n} < \sigma^2$，因此 $\bar{X}$ 的方差比 $X_1$ 的方差小，即 $\bar{X}$ 是最有效的估计量。