题目
（二）总体成数的假设检验【例6-15】某种疾病传统治疗方法的治愈率为70%，最近研究出一种新疗法。对200名患者试用这种新疗法，治愈了152人。试问这一试验数据能否说明新疗法确实比传统疗法更有效？以0.10的显著性水平进行检验。
（二）总体成数的假设检验
【例6-15】某种疾病传统治疗方法的治愈率为70%，最近研究出一种新疗法。对200名患者试用这种新疗法，治愈了152人。试问这
一试验数据能否说明新疗法确实比传统疗法更有效？以0.10的显著性水平进行检验。
题目解答
答案
**解：**
1. **建立假设：**
$H_0: P \leq 70\%$（新疗法不比传统疗法更有效），
$H_1: P > 70\%$（新疗法更有效）。
2. **计算检验统计量：**
样本成数 $p = \frac{152}{200} = 0.76$，
总体成数 $P_0 = 70\% = 0.70$，
样本容量 $n = 200$，
检验统计量 $Z = \frac{p - P_0}{\sqrt{\frac{P_0(1 - P_0)}{n}}} = \frac{0.76 - 0.70}{\sqrt{\frac{0.70 \times 0.30}{200}}} \approx 1.852$。
3. **确定临界值或P值：**
显著性水平 $\alpha = 0.10$，
右侧检验，临界值 $Z_{0.10} \approx 1.2816$，
或P值 $P(Z \geq 1.852) \approx 0.032$。
4. **结论：**
$Z \approx 1.852 > 1.2816$ 或 $P值 \approx 0.032 < 0.10$，
拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。
**答案：**
新疗法确实比传统方法更有效。
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
H_0: P \leq 70\%, \quad H_1: P > 70\% \\
Z \approx 1.852, \quad P\text{-值} \approx 0.032 \\
\text{结论：新疗法更有效。}
\end{array}
}
\]
解析
本题考察总体成数的假设检验知识。解题思路如下：
- 建立假设：原假设 $H_0$ 表示新疗法不比传统疗法更有效，即总体成数 $P \leq 70\%$；备择假设 $H_1$ 表示新疗法更有效，即总体成数 $P > 70\%$。
- 计算检验统计量：
- 首先计算样本成数 $p$，根据公式 $p = \frac{152}{200} = 0.76$。
- 已知总体成数 $P_0 = 70\% = 0.70$，样本容量 $n = 200$。
- 然后根据检验统计量公式 $Z = \frac{p - P_0}{\sqrt{\frac{P_0(1 - P_0)}{n}}}$ 进行计算，将 $p = 0.76$，$P_0 = 0.70$，$n = 200$ 代入公式可得：
$\begin{align*}Z&=\frac{0.76 - 0.70}{\sqrt{\frac{0.70 \times 0.30}{200}}}\\&=\frac{0.06}{\sqrt{\frac{0.21}{200}}}\\&=\frac{0.06}{\sqrt{0.00105}}\\&=\frac{0.06}{0.0324}\\&\approx 1.852\end{align*}$
- 确定临界值或P值：
- 已知显著性水平 $\alpha = 0.10$，进行右侧检验。
- 查标准正态分布表可得临界值 $Z_{0.10} \approx 1.2816$。
- 或者计算P值，根据标准正态分布表可得 $P(Z \geq 1.852) \approx 0.032$。
- 得出结论：比较检验统计量 $Z$ 与临界值，或者比较P值与显著性水平 $\alpha$。因为 $Z \approx 1.852 > 1.2816$ 或者 $P值 \approx 0.032 < 0.10$，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$，即新疗法确实比传统疗法更有效。