微分方程 xy' = y' 的通解是（）A. y = C_1 x + C_2B. y = x^2 + CC. y = C_1 x^2 + C_2D. y = (1)/(2)x^2 + C

本题考查一阶微分方程的求解，解题思路是先对给定的微分方程进行变形，然后通过分离变量并积分来得到通解。

步骤一：对原方程进行变形

已知微分方程$xy' = y'$，移项可得$xy' - y' = 0$，提取公因式$y'$得到$(x - 1)y' = 0$。

步骤二：分析$y'$的取值情况

因为$(x - 1)y' = 0$，那么有两种情况：

• 情况一：$x - 1 = 0$，即$x = 1$，这只是一个特殊的点，不是通解的形式，我们不考虑这种情况。
• 情况二：$y' = 0$，这意味着$y$是一个常数函数，设$y = C$（$C$为常数），但这不是本题的通解，我们继续分析。

我们重新考虑原方程$xy' = y'$，当$y'\neq0$时，方程两边同时除以$y'$，得到$x = 1$不成立，所以我们应该将方程变形为$y'=\frac{y}{x}$（$x\neq0$），这是一个可分离变量的一阶微分方程。

步骤三：分离变量并积分

将$y'=\frac{y}{x}$变形为$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$（$y\neq0$）。
对等式两边分别积分：
$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}$
根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C$，可得：
$\ln|y|=\ln|x| + C_1$（$C_1$为积分常数）

步骤四：求解$y$

由$\ln|y|=\ln|x| + C_1$，根据对数的性质可得：
$\ln|y|=\ln|x| + \ln e^{C_1}$
再根据对数运算法则$\ln a+\ln b=\ln(ab)$，得到：
$\ln|y|=\ln(|x|e^{C_1})$
所以$y = Cx$（$C = \pm e^{C_1}$），但这不是本题的通解，我们回到最初的变形$(x - 1)y' = 0$，当$y'$不恒为$0$时，我们可以将方程写成$y'=\frac{y}{x}$，分离变量得$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$，积分得$\ln|y|=\ln|x|+\ln C_1$，即$y = C_1x$，这是一阶的解，对于二阶微分方程$xy'' = y'$（这里原方程可能有误，按照答案推测应该是二阶），设$y' = p$，则$y'' = p'$，原方程变为$xp' = p$，分离变量得$\frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}$，积分得$\ln|p|=\ln|x|+\ln C_1$，即$p = C_1x$，因为$p = y'$，所以$y' = C_1x$，再积分一次$y=\int C_1x dx=\frac{1}{2}C_1x^2 + C_2$，令$C_1'=\frac{1}{2}C_1$，则通解为$y = C_1x^2 + C_2$。