设当 arrow 0 时, (1-cos x)ln (1+(x)^2) 是比x sinx^n高阶的无穷小,而x sinx^n是比-|||-((e)^(x^2)-1) 高阶的无穷小,则正整数 = )

本题考查无穷小量阶的比较以及等价无穷小替换的知识。解题的关键思路是利用等价无穷小替换简化极限式子，再根据高阶无穷小的定义确定$n$的取值范围。

步骤一：分析$(1 - \cos x)\ln(1 + x^2)$与$x\sin x^n$的关系

当$x \to 0$时，有等价无穷小：$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，$\ln(1 + x^2)\sim x^2$，$\sin x^n\sim x^n$。
根据高阶无穷小的定义，若$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小，则$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$。
所以$\lim\limits_{x \to 0}\frac{(1 - \cos x)\ln(1 + x^2)}{x\sin x^n}=0$，将等价无穷小代入可得：
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{(1 - \cos x)\ln(1 + x^2)}{x\sin x^n}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2\cdot x^2}{x\cdot x^n}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^4}{x^{n + 1}}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0}x^{3 - n}$
要使该极限为$0$，则指数$3 - n>0$，即$n < 3$。

步骤二：分析$x\sin x^n$与$(e^{x^2} - 1)$的关系

当$x \to 0$时，$e^{x^2} - 1\sim x^2$。
同样根据高阶无穷小的定义，$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x\sin x^n}{e^{x^2} - 1}=0$，将等价无穷小代入可得：
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x\sin x^n}{e^{x^2} - 1}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{x\cdot x^n}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}x^{n - 1}$
要使该极限为$0$，则指数$n - 1>0$，即$n > 1$。

步骤三：确定$n$的值

综合$n < 3$和$n > 1$，且$n$为正整数，所以$n = 2$。