三、应用题（共20分）某种食品在技术处理前后分别取样，分析其脂肪的质量浓度（简称含脂率）（%）分别为处理前（ξ）：0.19 0.18 0.21 0.30 0.660.42 0.08 0.12 0.30 0.270.15 0.13 0.24 0.24 0.08 0.20处理后（ξ）：0.00 0.07 0.19 0.04 0.12假定技术处理前后该食品含脂率均服从正态分布，且方差不变，即ξ~N(μ₁，σ²)，η~N(μ₂，σ²).试在显著性水平α=0.05下，考察以下问题1、技术处理前后该类食品含脂率有无显著变化？（10分）2、对该类食品进行技术处理后其含脂率是否明显降低？（10分）

为了解决这个问题，我们需要进行假设检验。让我们从定义假设和计算必要的统计量开始。 ### 第1步：定义假设 对于第一个问题，我们测试技术处理前后该类食品含脂率有无显著变化。这是双侧检验： - 零假设 $ H_0 $：$ \mu_1 = \mu_2 $ - 备择假设 $ H_1 $：$ \mu_1 \neq \mu_2 $ 对于第二个问题，我们测试对该类食品进行技术处理后其含脂率是否明显降低。这是单侧检验： - 零假设 $ H_0 $：$ \mu_1 \leq \mu_2 $ - 备择假设 $ H_1 $：$ \mu_1 > \mu_2 $ ### 第2步：计算样本均值和方差 #### 处理前（$ \xi $） 样本：0.19, 0.18, 0.21, 0.30, 0.66, 0.42, 0.08, 0.12, 0.30, 0.27, 0.15, 0.13, 0.24, 0.24, 0.08, 0.20 样本大小 $ n_1 = 16 $ 样本均值 $ \bar{x}_1 = \frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{1i} = \frac{1}{16} \times 3.47 = 0.216875 $ 样本方差 $ s_1^2 = \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16} (x_{1i} - \bar{x}_1)^2 = \frac{1}{15} \times 0.28296875 = 0.01886458333 $ #### 处理后（$ \eta $） 样本：0.00, 0.07, 0.19, 0.04, 0.12 样本大小 $ n_2 = 5 $ 样本均值 $ \bar{x}_2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_{2i} = \frac{1}{5} \times 0.42 = 0.084 $ 样本方差 $ s_2^2 = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{5} (x_{2i} - \bar{x}_2)^2 = \frac{1}{4} \times 0.01624 = 0.00406 $ ### 第3步：计算合并方差 由于方差相等，我们使用合并方差 $ s_p^2 $： \[ s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{15 \times 0.01886458333 + 4 \times 0.00406}{19} = \frac{0.28296875 + 0.01624}{19} = 0.01575311842 \] ### 第4步：计算t统计量 #### 对于第一个问题（双侧检验） \[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = \frac{0.216875 - 0.084}{\sqrt{0.01575311842} \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{5}}} = \frac{0.132875}{0.125511695 \times 0.5477225575} = \frac{0.132875}{0.0687019456} = 1.934 \] #### 对于第二个问题（单侧检验） t统计量与双侧检验相同，$ t = 1.934 $ ### 第5步：确定临界值 #### 对于第一个问题（双侧检验） 自由度 $ df = n_1 + n_2 - 2 = 19 $ 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 临界值 $ t_{0.025, 19} = 2.093 $ #### 对于第二个问题（单侧检验） 自由度 $ df = n_1 + n_2 - 2 = 19 $ 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 临界值 $ t_{0.05, 19} = 1.729 $ ### 第6步：进行决策 #### 对于第一个问题（双侧检验） 由于 $ |t| = 1.934 < 2.093 $，我们不拒绝零假设。因此，没有显著证据表明技术处理前后该类食品含脂率有显著变化。 #### 对于第二个问题（单侧检验） 由于 $ t = 1.934 > 1.729 $，我们拒绝零假设。因此，有显著证据表明对该类食品进行技术处理后其含脂率明显降低。 ### 最终答案 1. 技术处理前后该类食品含脂率没有显著变化。 $\boxed{\text{没有显著变化}}$ 2. 对该类食品进行技术处理后其含脂率明显降低。 $\boxed{\text{明显降低}}$