题目
某电站供应10000户居民用电。设在高峰时每户用电的概率为0.8,且各户的用电是相互独立的。用中心极限定理求同一时刻有8100户以上居民用电的概率.
某电站供应10000户居民用电。设在高峰时每户用电的概率为0.8,且各户的用电是相互独立的。用中心极限定理求同一时刻有8100户以上居民用电的概率.
题目解答
答案
设X:居民用电户数,则
,
由二项分布中心极限定理,
(1)
.计算题
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为同一时刻用电的居民户数，根据题意，X服从二项分布$B(10000, 0.8)$，其中n=10000，p=0.8。
步骤 2：应用中心极限定理
由于n很大，根据中心极限定理，二项分布$B(n, p)$可以近似为正态分布$N(np, np(1-p))$。因此，X近似服从正态分布$N(8000, 1600)$，其中均值$\mu = np = 8000$，方差$\sigma^2 = np(1-p) = 1600$，标准差$\sigma = \sqrt{1600} = 40$。
步骤 3：计算概率
要计算同一时刻有8100户以上居民用电的概率，即求$P(X > 8100)$。由于X近似服从正态分布$N(8000, 1600)$，我们首先将X标准化，得到$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 8000}{40}$。因此，$P(X > 8100) = P(Z > \frac{8100 - 8000}{40}) = P(Z > 2.5)$。查标准正态分布表，得到$P(Z > 2.5) = 1 - P(Z \leq 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$。
设X为同一时刻用电的居民户数，根据题意，X服从二项分布$B(10000, 0.8)$，其中n=10000，p=0.8。
步骤 2：应用中心极限定理
由于n很大，根据中心极限定理，二项分布$B(n, p)$可以近似为正态分布$N(np, np(1-p))$。因此，X近似服从正态分布$N(8000, 1600)$，其中均值$\mu = np = 8000$，方差$\sigma^2 = np(1-p) = 1600$，标准差$\sigma = \sqrt{1600} = 40$。
步骤 3：计算概率
要计算同一时刻有8100户以上居民用电的概率，即求$P(X > 8100)$。由于X近似服从正态分布$N(8000, 1600)$，我们首先将X标准化，得到$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 8000}{40}$。因此，$P(X > 8100) = P(Z > \frac{8100 - 8000}{40}) = P(Z > 2.5)$。查标准正态分布表，得到$P(Z > 2.5) = 1 - P(Z \leq 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$。