题目
4、设A=(}1&0&01&1&00&1&1=____
4、设$A=\left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right)$，求$A^{n}=$____
题目解答
答案
为了求解 $ A^n $，其中 $ A = \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right) $，我们首先通过计算 $ A $ 的前几幂来识别一个模式。
首先，我们计算 $ A^2 $：
\[
A^2 = A \cdot A = \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2&1\end{matrix}\right).
\]
接下来，我们计算 $ A^3 $：
\[
A^3 = A^2 \cdot A = \left(\begin{matrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2&1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\3&3&1\end{matrix}\right).
\]
从这些计算中，我们观察到 $ A^n $ 可能具有以下形式：
\[
A^n = \left(\begin{matrix}1&0&0\\n&1&0\\\frac{n(n-1)}{2}&n&1\end{matrix}\right).
\]
为了确认这个模式，我们使用数学归纳法。基本情况是 $ n = 1 $，其中 $ A^1 = A = \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right) $，这与我们的形式相匹配。
假设形式对于 $ n = k $ 成立，即
\[
A^k = \left(\begin{matrix}1&0&0\\k&1&0\\\frac{k(k-1)}{2}&k&1\end{matrix}\right).
\]
我们需要证明形式对于 $ n = k+1 $ 成立：
\[
A^{k+1} = A^k \cdot A = \left(\begin{matrix}1&0&0\\k&1&0\\\frac{k(k-1)}{2}&k&1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&0&0\\k+1&1&0\\\frac{k(k-1)}{2} + k&k+1&1\end{matrix}\right).
\]
简化右下角的元素，我们得到：
\[
\frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{k^2 - k + 2k}{2} = \frac{k^2 + k}{2} = \frac{(k+1)k}{2}.
\]
因此，
\[
A^{k+1} = \left(\begin{matrix}1&0&0\\k+1&1&0\\\frac{(k+1)k}{2}&k+1&1\end{matrix}\right),
\]
这与 $ n = k+1 $ 的形式相匹配。根据数学归纳法原理，形式对于所有正整数 $ n $ 都成立。
因此，$ A^n $ 的解是：
\[
\boxed{\left(\begin{matrix}1&0&0\\n&1&0\\\frac{n(n-1)}{2}&n&1\end{matrix}\right)}.
\]
解析
本题考查矩阵的幂运算以及数学归纳法的应用。解题思路是先通过计算矩阵$A$的前几几幂，找出其规律，推测出$A^n$的一般形式，然后使用数学归纳法来证明这个推测的正确性。
步骤一：计算$A$的前几幂
- 计算$A^2$：
根据矩阵乘法规则，若$A = \begin{pmatrix}a_{111}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12b_{22}+a_{13}b_{32}&a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{222}+a_{23}b_{32}&a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}\\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}&a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{333}b_{32}&a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}\end{pmatrix}$。
已知$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$，则$A^2 = A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1 + 0\times1+0\times0&1\times0 + 0\times1+0\times1&1\times0 + 0\times0+0\times1\\1\times1+1\times1 + 0\times0&1\times0+1\times1+0\times1&1\times0+1\times0+0\times1\\0\times1+1\times1+1\times0&0\times0+1\times1+1\times1&0\times0+1\times0+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2&1\end{pmatrix}$。 - 计算$A^3 = A^2\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2{2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+0\times1 + 0\times0&1\times0+0\times1+0\times1&1\times0+0\times0+0\times1\\2\times1+1\times1+0\times0&2\times0+1\times1+0\times1&2\times0+1\times0+0\times1\\1\times1+2\times1+1\times0&1\times0+2\times1+1\times1&1\times0+2\times0+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\3&3&1\end{pmatrix}$。
步骤二：推测$A^n$的形式
从$A^1$、$A^2$、$A^3$的结果，我们推测$A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\n&1&0\\\frac{n(n - 1)}{2}&n&1\end{pmatrix}$。
步骤三：使用数学归纳法证明
- 基础步骤：当$n = 1$时，$A^1 = A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$，与我们推测的形式相符。
- 归纳步骤：假设当$n = k$时，$k)=\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\\frac{k(k - 1)}{2}&k&&1\end{pmatrix}$成立。
那么当$n=k + 1$时，$A^{k + 1}=A^k\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\\frac{k(k - 1)}{2}&k&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+0\times1+0\times0&1\times0+0\times1+0\times1&1\times0+0\times1\\k\times1+1\times1+0\times0&k\times0+1\times1+0\times1&k\times0+1\times0+0\times1\\\frac{k(k - 1)}{2}\times1+k\times1+1\times0&\frac{k(k - 1)}{2}\times0+k\times1+1\times1&\frac{k(k - 1)}{2}\times0+k\times0+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\k + 1&1&0\\\frac{k(k - 1)}{2}+k&k + 1&1\end{pmatrix}$。
对$\frac{k(k - 1)}{2}+k$进行化简：
$\begin{align*}\frac{k(k - 1)}{2}+k&=\frac{k^2 - k+2k}{2}\\&=\frac{k^2 + k}{2}\\&=\frac{(k + 1)k}{2}\end{align*}$
所以$A^{k + 1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\k + 1&1&0\\\frac{(k + 1)k}{2}&k + 1&1\end{pmatrix}$，与$n = k + 1$时的形式相符。
由数学归纳法原理可知，对于所有正整数$n$，$A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\n&1&0\\\frac{n(n - 1)}{2}&n&1\end{pmatrix}$成立。