题目
设入射波的波动方程为Y1=ACOS2π(t/T+x/λ), 在x=0处发生反射, 反射点为一自由端,求:(1) 反射波的波动方程(2) 合成波的方程,并由合成波方程说明哪些点是波腹,哪些点是波节.
设入射波的波动方程为Y1=ACOS2π(t/T+x/λ), 在x=0处发生反射, 反射点为一自由端,求:
(1) 反射波的波动方程
(2) 合成波的方程,并由合成波方程说明哪些点是波腹,哪些点是波节.
题目解答
答案
解: (1) x=0点的振动表达式 
反射点为自由端,无半波损失,所以反射波的波动表达式为
(2) 驻波表达式
波腹处:
即
得
(∵x≥0,∴k∈N)
∴x=0, λ/2, λ, 3λ/2,…
波节处:
即
得
( k∈N) ∴x=λ/4, 3λ/4, 5λ/4,…
解析
步骤 1：确定入射波的波动方程
入射波的波动方程为：$Y_1 = A\cos(2\pi(t/T + x/\lambda))$，其中A是振幅，T是周期，λ是波长，t是时间，x是位置。
步骤 2：确定反射波的波动方程
反射点为自由端，无半波损失，反射波的波动方程为：$Y_2 = A\cos(2\pi(t/T - x/\lambda))$。这里，反射波的相位与入射波相同，因为反射点是自由端，没有相位变化。
步骤 3：合成波的方程
合成波的方程为入射波和反射波的叠加，即：$Y = Y_1 + Y_2 = A\cos(2\pi(t/T + x/\lambda)) + A\cos(2\pi(t/T - x/\lambda))$。利用三角函数的和差化积公式，可以将合成波的方程简化为：$Y = 2A\cos(2\pi x/\lambda)\cos(2\pi t/T)$。
步骤 4：确定波腹和波节的位置
波腹处，$\cos(2\pi x/\lambda) = \pm 1$，即$2\pi x/\lambda = k\pi$，得$x = k\lambda/2$，其中k为整数。因此，波腹的位置为$x = 0, \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, ...$。
波节处，$\cos(2\pi x/\lambda) = 0$，即$2\pi x/\lambda = (k + 1/2)\pi$，得$x = (k + 1/2)\lambda/2$，其中k为整数。因此，波节的位置为$x = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, ...$。
入射波的波动方程为：$Y_1 = A\cos(2\pi(t/T + x/\lambda))$，其中A是振幅，T是周期，λ是波长，t是时间，x是位置。
步骤 2：确定反射波的波动方程
反射点为自由端，无半波损失，反射波的波动方程为：$Y_2 = A\cos(2\pi(t/T - x/\lambda))$。这里，反射波的相位与入射波相同，因为反射点是自由端，没有相位变化。
步骤 3：合成波的方程
合成波的方程为入射波和反射波的叠加，即：$Y = Y_1 + Y_2 = A\cos(2\pi(t/T + x/\lambda)) + A\cos(2\pi(t/T - x/\lambda))$。利用三角函数的和差化积公式，可以将合成波的方程简化为：$Y = 2A\cos(2\pi x/\lambda)\cos(2\pi t/T)$。
步骤 4：确定波腹和波节的位置
波腹处，$\cos(2\pi x/\lambda) = \pm 1$，即$2\pi x/\lambda = k\pi$，得$x = k\lambda/2$，其中k为整数。因此，波腹的位置为$x = 0, \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, ...$。
波节处，$\cos(2\pi x/\lambda) = 0$，即$2\pi x/\lambda = (k + 1/2)\pi$，得$x = (k + 1/2)\lambda/2$，其中k为整数。因此，波节的位置为$x = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, ...$。