C B-|||-不-|||-A1 M /-|||-I /-|||-/-|||-/-|||-N t-|||-__ __-|||-3-|||-A如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；（1）求overrightarrow(BN)的长；（2）求cos＜overrightarrow(B{A)_(1)}，overrightarrow(C{B)_(1)}＞的值；（3）求证：A1B⊥C1M．（4）求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值．

（1）解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz．
依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴|$\overrightarrow{BN}$|=$\sqrt{{{（1-0）}^2}+{{（0-1）}^2}+{{（1-0）}^2}}=\sqrt{3}$．
（2）解：依题意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），
C（0，0，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{B{A_1}}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{C{B_1}}$=（0，1，2），
$\overrightarrow{B{A_1}}$•$\overrightarrow{C{B_1}}$=3，|$\overrightarrow{B{A_1}}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{C{B_1}}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{B{A_1}}$，$\overrightarrow{C{B_1}}$＞=$\frac{{\overrightarrow{B{A_1}}•\overrightarrow{C{B_1}}}}{{|\overrightarrow{B{A_1}}|•|\overrightarrow{C{B_1}}|}}=\frac{1}{10}\sqrt{30}$．
（3）证明：依题意，得C₁（0，0，2），M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，2），
$\overrightarrow{{A_1}B}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{{C_1}M}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{{A_1}B}$•$\overrightarrow{{C_1}M}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$+0=0，
∴$\overrightarrow{{A_1}B}$⊥$\overrightarrow{{C_1}M}$，∴A₁B⊥C₁M．
（4）解：∵A₁B⊥C₁M，AA₁⊥C₁M，
∴$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0）是平面A₁ABB₁的法向量，
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，1，2），
设CB₁与平面A₁ABB₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{C{B}_{1}}，\overrightarrow{{C}_{1}M}$＞|=|$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-\frac{1}{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴CB₁与平面A₁ABB₁所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．