题目
6.6 在密度函数-|||-(x)=(alpha +1)(x)^alpha , lt xlt 1-|||-中参数α的最大似然估计量是什么?矩法估计量是什么?
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩法估计量
矩法估计量是通过将样本矩与总体矩相等来估计参数的方法。对于给定的密度函数 $f(x)=(\alpha +1){x}^{\alpha }$，我们需要计算总体的一阶矩（即期望值）。
步骤 2：计算总体的一阶矩
总体的一阶矩（期望值）$E(x)$ 可以通过积分计算得到：
$$E(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x (\alpha + 1) x^{\alpha} dx = (\alpha + 1) \int_{0}^{1} x^{\alpha + 1} dx$$
步骤 3：求解总体的一阶矩
$$E(x) = (\alpha + 1) \left[ \frac{x^{\alpha + 2}}{\alpha + 2} \right]_{0}^{1} = \frac{\alpha + 1}{\alpha + 2}$$
步骤 4：矩法估计量
将总体的一阶矩与样本的一阶矩（样本均值 $\overline{x}$）相等，得到矩法估计量：
$$\frac{\alpha + 1}{\alpha + 2} = \overline{x}$$
解得：
$$\hat{\alpha} = \frac{1}{1 - \overline{x}} - 1$$
步骤 5：最大似然估计量
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于给定的密度函数 $f(x)=(\alpha +1){x}^{\alpha }$，我们需要计算似然函数并求其最大值。
步骤 6：计算似然函数
似然函数 $L(\alpha)$ 可以通过将密度函数乘积得到：
$$L(\alpha) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} (\alpha + 1) x_i^{\alpha} = (\alpha + 1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha}$$
步骤 7：对数似然函数
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\alpha) = n \ln (\alpha + 1) + \alpha \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
步骤 8：求解最大似然估计量
对对数似然函数求导并令其等于0，得到最大似然估计量：
$$\frac{d \ln L(\alpha)}{d \alpha} = \frac{n}{\alpha + 1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$$
解得：
$$\hat{\alpha} = -\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i} - 1$$
矩法估计量是通过将样本矩与总体矩相等来估计参数的方法。对于给定的密度函数 $f(x)=(\alpha +1){x}^{\alpha }$，我们需要计算总体的一阶矩（即期望值）。
步骤 2：计算总体的一阶矩
总体的一阶矩（期望值）$E(x)$ 可以通过积分计算得到：
$$E(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x (\alpha + 1) x^{\alpha} dx = (\alpha + 1) \int_{0}^{1} x^{\alpha + 1} dx$$
步骤 3：求解总体的一阶矩
$$E(x) = (\alpha + 1) \left[ \frac{x^{\alpha + 2}}{\alpha + 2} \right]_{0}^{1} = \frac{\alpha + 1}{\alpha + 2}$$
步骤 4：矩法估计量
将总体的一阶矩与样本的一阶矩（样本均值 $\overline{x}$）相等，得到矩法估计量：
$$\frac{\alpha + 1}{\alpha + 2} = \overline{x}$$
解得：
$$\hat{\alpha} = \frac{1}{1 - \overline{x}} - 1$$
步骤 5：最大似然估计量
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于给定的密度函数 $f(x)=(\alpha +1){x}^{\alpha }$，我们需要计算似然函数并求其最大值。
步骤 6：计算似然函数
似然函数 $L(\alpha)$ 可以通过将密度函数乘积得到：
$$L(\alpha) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} (\alpha + 1) x_i^{\alpha} = (\alpha + 1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha}$$
步骤 7：对数似然函数
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\alpha) = n \ln (\alpha + 1) + \alpha \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
步骤 8：求解最大似然估计量
对对数似然函数求导并令其等于0，得到最大似然估计量：
$$\frac{d \ln L(\alpha)}{d \alpha} = \frac{n}{\alpha + 1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$$
解得：
$$\hat{\alpha} = -\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i} - 1$$