题目
某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收．假设拟购进的这批原料的合格率为p（0＜p＜1），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担．（1）若p=(2)/(3)，即方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望；（2）分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案？说明理由．
某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收．
假设拟购进的这批原料的合格率为p（0＜p＜1），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担．
（1）若$p=\frac{2}{3}$，即方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望；
（2）分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案？说明理由．
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收．
假设拟购进的这批原料的合格率为p（0＜p＜1），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担．
（1）若$p=\frac{2}{3}$，即方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望；
（2）分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案？说明理由．
题目解答
答案
解：（1）由题意，随机变量X=15，30，
X=15对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个，
X=30对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验，
所以$P（X=30）={C}_{5}^{1}{（\frac{2}{3}）}^{4}•\frac{1}{3}=\frac{80}{243}$，$P（X=15）=1-P（X=30）=1-\frac{80}{243}=\frac{163}{243}$，
X的分布列为：
所以$E（X）=15×\frac{163}{243}+30×\frac{80}{243}≈19.94$；
（2）方案一通过检验的概率为${P}_{1}={p}^{10}+{C}_{10}^{1}（1-p）{p}^{9}={p}^{9}（10-9p）$，
方案二通过检验的概率为${P}_{2}={p}^{5}+{C}_{5}^{1}（1-p）{p}^{4}{p}^{5}={p}^{5}[1+5{p}^{4}（1-p）]$，
${P}_{1}-{P}_{2}={p}^{9}（10-9p）-{p}^{5}[1+5{p}^{4}（1-p）]={p}^{5}[{p}^{4}（10-9p）-1-5{p}^{4}（1-p）]$，其中0＜p＜1，
令f（p）=p4（10-9p）-1-5p4（1-p）=-4p5+5p4-1，
则f′（p）=-20p4+20p3=20p3（1-p）＞0，
所以函数f（p）在（0，1）上单调递增，故f（p）＜f（1）=0，
即P1＜P2，
故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高．
X=15对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个，
X=30对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验，
所以$P（X=30）={C}_{5}^{1}{（\frac{2}{3}）}^{4}•\frac{1}{3}=\frac{80}{243}$，$P（X=15）=1-P（X=30）=1-\frac{80}{243}=\frac{163}{243}$，
X的分布列为：
| X | 15 | 30 |
| P | $\frac{163}{243}$ | $\frac{80}{243}$ |
（2）方案一通过检验的概率为${P}_{1}={p}^{10}+{C}_{10}^{1}（1-p）{p}^{9}={p}^{9}（10-9p）$，
方案二通过检验的概率为${P}_{2}={p}^{5}+{C}_{5}^{1}（1-p）{p}^{4}{p}^{5}={p}^{5}[1+5{p}^{4}（1-p）]$，
${P}_{1}-{P}_{2}={p}^{9}（10-9p）-{p}^{5}[1+5{p}^{4}（1-p）]={p}^{5}[{p}^{4}（10-9p）-1-5{p}^{4}（1-p）]$，其中0＜p＜1，
令f（p）=p4（10-9p）-1-5p4（1-p）=-4p5+5p4-1，
则f′（p）=-20p4+20p3=20p3（1-p）＞0，
所以函数f（p）在（0，1）上单调递增，故f（p）＜f（1）=0，
即P1＜P2，
故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高．