题目
3． 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U 与 VA. 不独立B. 独立C. 相关系数不为零D. 相关系数为零
3． 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U 与 V
A. 不独立
B. 独立
C. 相关系数不为零
D. 相关系数为零
题目解答
答案
D. 相关系数为零
解析
步骤 1：计算 E(U)
由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X) = E(Y)。所以 E(U) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 0。
步骤 2：计算 E(UV)
E(UV) = E[(X - Y)(X + Y)] = E(X^2 - Y^2) = E(X^2) - E(Y^2)。由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X^2) = E(Y^2)，所以 E(UV) = E(X^2) - E(Y^2) = 0。
步骤 3：计算 Cov(U, V)
Cov(U, V) = E(UV) - E(U)E(V) = 0 - 0 * E(V) = 0。
步骤 4：计算相关系数
相关系数 ρ(U, V) = Cov(U, V) / (σ_U * σ_V) = 0 / (σ_U * σ_V) = 0。
由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X) = E(Y)。所以 E(U) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 0。
步骤 2：计算 E(UV)
E(UV) = E[(X - Y)(X + Y)] = E(X^2 - Y^2) = E(X^2) - E(Y^2)。由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X^2) = E(Y^2)，所以 E(UV) = E(X^2) - E(Y^2) = 0。
步骤 3：计算 Cov(U, V)
Cov(U, V) = E(UV) - E(U)E(V) = 0 - 0 * E(V) = 0。
步骤 4：计算相关系数
相关系数 ρ(U, V) = Cov(U, V) / (σ_U * σ_V) = 0 / (σ_U * σ_V) = 0。