题目
设(B|A)=dfrac (1)(3)，(B|A)=dfrac (1)(3)，(B|A)=dfrac (1)(3)，则(B|A)=dfrac (1)(3)________，(B|A)=dfrac (1)(3)_______，(B|A)=dfrac (1)(3)________，(B|A)=dfrac (1)(3)_______。
设
，
，
，则
________，
_______，
________，
_______。
题目解答
答案
对任意事件
，有概率公式：
，也有全概率公式：
，
所以
解得：
，
所以
，
所以
且
所以
，
最后求
：
，
所以
，
所以
综上所述：
，
，
，
。
解析
步骤 1：计算P(AB)
根据条件概率公式$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$，可以得到$P(AB)=P(B|A)P(A)$。已知$P(B|A)=\dfrac{1}{3}$，需要求出P(A)。
步骤 2：求P(A)
根据全概率公式$P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})$，已知$P(A\overline{B})=0.2$，代入$P(AB)=\dfrac{1}{3}P(A)$，得到$P(A)=\dfrac{1}{3}P(A)+0.2$，解得$P(A)=0.3$。
步骤 3：计算P(AB)
将$P(A)=0.3$代入$P(AB)=\dfrac{1}{3}P(A)$，得到$P(AB)=0.1$。
步骤 4：计算$P(A\cup B)$
根据概率公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，代入已知值，得到$P(A\cup B)=0.3+0.5-0.1=0.7$。
步骤 5：计算P(A|B)
根据条件概率公式$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$，代入已知值，得到$P(A|B)=\dfrac{0.1}{0.5}=0.2$。
步骤 6：计算$P(B|\overline{A})$
根据全概率公式$P(B)=P(\overline{A}B)+P(AB)$，得到$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0.5-0.1=0.4$。再根据条件概率公式$P(B|\overline{A})=\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.3=0.7$，代入得到$P(B|\overline{A})=\dfrac{0.4}{0.7}=\dfrac{4}{7}$。
根据条件概率公式$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$，可以得到$P(AB)=P(B|A)P(A)$。已知$P(B|A)=\dfrac{1}{3}$，需要求出P(A)。
步骤 2：求P(A)
根据全概率公式$P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})$，已知$P(A\overline{B})=0.2$，代入$P(AB)=\dfrac{1}{3}P(A)$，得到$P(A)=\dfrac{1}{3}P(A)+0.2$，解得$P(A)=0.3$。
步骤 3：计算P(AB)
将$P(A)=0.3$代入$P(AB)=\dfrac{1}{3}P(A)$，得到$P(AB)=0.1$。
步骤 4：计算$P(A\cup B)$
根据概率公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，代入已知值，得到$P(A\cup B)=0.3+0.5-0.1=0.7$。
步骤 5：计算P(A|B)
根据条件概率公式$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$，代入已知值，得到$P(A|B)=\dfrac{0.1}{0.5}=0.2$。
步骤 6：计算$P(B|\overline{A})$
根据全概率公式$P(B)=P(\overline{A}B)+P(AB)$，得到$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0.5-0.1=0.4$。再根据条件概率公式$P(B|\overline{A})=\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.3=0.7$，代入得到$P(B|\overline{A})=\dfrac{0.4}{0.7}=\dfrac{4}{7}$。