一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机地，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5，若售出300只蛋糕， （1）求收入至少400元的概率 （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率

考查要点：本题主要考查中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯定理的应用，涉及期望与方差的计算以及正态近似的使用。

解题思路：

1. 第一问：总收入是300个独立同分布随机变量的和，利用中心极限定理将其近似为正态分布，计算概率。
2. 第二问：售出1.2元蛋糕的数量服从二项分布，通过棣莫弗-拉普拉斯定理将其近似为正态分布，计算概率。

关键点：

• 期望与方差的计算是基础。
• 标准化处理将原问题转化为标准正态分布的概率计算。
• 连续性修正（第二问中可能忽略，但需注意）。

第（1）题

计算期望与方差

单只蛋糕价格的期望：
$E(X) = 1 \times 0.3 + 1.2 \times 0.2 + 1.5 \times 0.5 = 1.29 \ \text{元}$

方差：
$D(X) = (1-1.29)^2 \times 0.3 + (1.2-1.29)^2 \times 0.2 + (1.5-1.29)^2 \times 0.5 = 0.0489$

应用中心极限定理

总收入 $S = \sum_{i=1}^{300} X_i$ 近似服从正态分布：
$S \sim N(300 \times 1.29, \ 300 \times 0.0489) = N(387, 14.67)$

标准化与概率计算

求 $P(S \geq 400)$：
$Z = \frac{400 - 387}{\sqrt{14.67}} \approx 3.39$
查标准正态分布表得 $P(Z \geq 3.39) \approx 1 - 0.9997 = 0.0003$。

第（2）题

二项分布与正态近似

售出1.2元蛋糕数量 $Y \sim B(300, 0.2)$，近似为：
$Y \sim N(300 \times 0.2, \ 300 \times 0.2 \times 0.8) = N(60, 48)$

概率计算

求 $P(Y > 60)$：
$Z = \frac{60 - 60}{\sqrt{48}} = 0$
查标准正态分布表得 $P(Z \geq 0) = 1 - 0.5 = 0.5$。