题目
3.设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，则D(2X+Y)=____，D(X-2Y)=____.
3.设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，则D(2X+Y)=____，D(X-2Y)=____.
题目解答
答案
为了求解 $D(2X+Y)$ 和 $D(X-2Y)$，我们需要使用随机变量线性组合的方差公式。对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的线性组合 $aX + bY$ 的方差为：
\[D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \text{Cov}(X, Y)\]
其中，$\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，可以通过相关系数 $\rho$ 和标准差 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 计算得到：
\[\text{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y\]
已知 $X$ 的方差 $D(X) = 25$，所以 $X$ 的标准差 $\sigma_X = \sqrt{25} = 5$。已知 $Y$ 的方差 $D(Y) = 16$，所以 $Y$ 的标准差 $\sigma_Y = \sqrt{16} = 4$。已知 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho = 0.4$，因此协方差为：
\[\text{Cov}(X, Y) = 0.4 \times 5 \times 4 = 8\]
现在，我们可以计算 $D(2X + Y)$：
\[D(2X + Y) = 2^2D(X) + 1^2D(Y) + 2 \times 2 \times 1 \times \text{Cov}(X, Y) = 4 \times 25 + 1 \times 16 + 4 \times 8 = 100 + 16 + 32 = 148\]
接下来，我们计算 $D(X - 2Y)$：
\[D(X - 2Y) = 1^2D(X) + (-2)^2D(Y) + 2 \times 1 \times (-2) \times \text{Cov}(X, Y) = 1 \times 25 + 4 \times 16 + (-4) \times 8 = 25 + 64 - 32 = 57\]
因此，答案是：
\[\boxed{148, 57}\]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差计算，涉及方差公式、协方差与相关系数的关系。
解题核心思路：
- 方差公式：对于线性组合 $aX + bY$，方差为 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X, Y)$。
- 协方差与相关系数的关系：$\text{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y$，其中 $\rho$ 是相关系数，$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 是标准差。
- 代入计算：将已知方差、相关系数代入公式，分步计算即可。
破题关键点：
- 正确计算协方差：需先求出标准差 $\sigma_X = \sqrt{D(X)}$ 和 $\sigma_Y = \sqrt{D(Y)}$。
- 符号处理：注意系数 $a$ 和 $b$ 的符号对协方差项的影响。
步骤1：计算协方差
已知 $D(X) = 25$，$D(Y) = 16$，相关系数 $\rho = 0.4$，则：
- 标准差 $\sigma_X = \sqrt{25} = 5$，$\sigma_Y = \sqrt{16} = 4$。
- 协方差 $\text{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y = 0.4 \times 5 \times 4 = 8$。
步骤2：计算 $D(2X + Y)$
根据方差公式：
$\begin{aligned}D(2X + Y) &= 2^2D(X) + 1^2D(Y) + 2 \times 2 \times 1 \times \text{Cov}(X, Y) \\&= 4 \times 25 + 1 \times 16 + 4 \times 8 \\&= 100 + 16 + 32 \\&= 148.\end{aligned}$
步骤3：计算 $D(X - 2Y)$
根据方差公式：
$\begin{aligned}D(X - 2Y) &= 1^2D(X) + (-2)^2D(Y) + 2 \times 1 \times (-2) \times \text{Cov}(X, Y) \\&= 1 \times 25 + 4 \times 16 + (-4) \times 8 \\&= 25 + 64 - 32 \\&= 57.\end{aligned}$