3.(填空题，20分)已知X~N(1,4),则(1)F(5)=____；(2)P(X=2)=____；(3)P(|X-1|≤2)=____.(查表有Phi(1)=0.8413，Phi(2)=0.9772)答案用小数表示(1)0.9772(2)0(3)0.6826
题目解答
答案
(1) 计算 $F(5)$
标准化 $X$：$Z = \frac{X - 1}{2}$，当 $X = 5$ 时，$Z = 2$。
查表得 $\Phi(2) = 0.9772$，故 $F(5) = 0.9772$。
(2) 计算 $P\{X = 2\}$
连续变量在单点概率为 0，故 $P\{X = 2\} = 0$。
(3) 计算 $P\{|X - 1| \leq 2\}$
转换为 $P\{-1 \leq Z \leq 1\}$，其中 $Z = \frac{X - 1}{2}$。
查表得 $\Phi(1) = 0.8413$，则 $P\{-1 \leq Z \leq 1\} = 2\Phi(1) - 1 = 0.6826$。
答案：
(1) $0.9772$
(2) $0$
(3) $0.6826$
$\boxed{\begin{array}{ccc}(1) & 0.9772 \$2) & 0 \$3) & 0.6826 \\\end{array}}$
解析
本题主要考查正态分布的性质、标准化变换以及概率的计算。解题的关键在于熟练运用正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$X$是原始随机变量，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差，$Z$是标准正态分布变量），以及标准正态分布的概率性质$\varPhi(z)=P(Z\leq z)$和$P(a\leq Z\leq b)=\varPhi(b)-\varPhi(a)$。
（1）计算$F(5)$
已知$X\sim N(1,4)$，这表明$X$服从均值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 4$的正态分布，那么标准差$\sigma=\sqrt{4}=2$。
为了计算$F(5)=P(X\leq 5)$，我们对$X$进行标准化变换，令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}=\frac{X - 1}{2}$，此时$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
当$X = 5$时，$Z=\frac{5 - 1}{2}=\frac{4}{2}=2$。
所以$F(5)=P(X\leq 5)=P\left(\frac{X - 1}{2}\leq\frac{5 - 1}{2}\right)=P(Z\leq 2)$。
根据标准正态分布的性质，$P(Z\leq 2)=\varPhi(2)$，已知$\varPhi(2)=0.9772$，故$F(5)=0.9772$。
（2）计算$P\{X = 2\}$
因为$X$是连续型随机变量（正态分布是连续型分布），对于连续型随机变量，它在任意单点处的概率都为$0$，所以$P\{X = 2\}=0$。
（3）计算$P\{|X - 1| \leq 2\}$
首先对不等式$|X - 1| \leq 2$进行求解，根据绝对值的性质可得$-2\leq X - 1\leq 2$，不等式两边同时加$1$，得到$-2 + 1\leq X\leq 2 + 1$，即$-1\leq X\leq 3$。
所以$P\{|X - 1| \leq 2\}=P(-1\leq X\leq 3)$。
对$X$进行标准化变换，令$Z = \frac{X - 1}{2}$，则$P(-1\leq X\leq 3)=P\left(\frac{-1 - 1}{2}\leq\frac{X - 1}{2}\leq\frac{3 - 1}{2}\right)=P(-1\leq Z\leq 1)$。
根据标准正态分布的概率性质$P(a\leq Z\leq b)=\varPhi(b)-\varPhi(a)$，可得$P(-1\leq Z\leq 1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$。
又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，那么$\varPhi(-1)=1 - \varPhi(1)$。
则$P(-1\leq Z\leq 1)=\varPhi(1)-(1 - \varPhi(1))=2\varPhi(1)-1$。
已知$\varPhi(1)=0.8413$，代入可得$2\times0.8413 - 1=1.6826 - 1 = 0.6826$，即$P\{|X - 1| \leq 2\}=0.6826$。