设X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), ,则下列-|||-结论中不正确的是-|||-(A) sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2 服从x^2分布. (B) (({X)_(n)-(X)_(1))}^2 服从x^2分布.-|||-(C) sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 服从x^2分布. (D) ((overline {X)-mu )}^2 服从x^2分布.

本题主要考察卡方分布的定义及正态总体下常用统计量的分布性质，需逐一分析各选项是否符合卡方分布的特征。

选项A分析

总体 $X_i \sim N(\mu,1)$，则 $X_i - \mu \sim N(0,1)$（标准正态分布）。
根据卡方分布定义：若 $Y_1,Y_2,\dots,Y_n$ 独立同分布于 $N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^n Y_i^2 \sim \chi^2(n)$。
此处 $Y_i = X_i - \mu$，故 $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n)$，A正确。

选项B分析

$X_n - X_1$ 是两个独立正态变量的差：
$X_n - X_1 \sim N(\mu - \mu, 1 + 1) = N(0,2)$（均值为0，方差为2）。
标准化得：$\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，则 $\left(\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(X_n - X_1)^2}{2} \sim \chi^2(1)$。
因此 $(X_n - X_1)^2 \sim 2\chi^2(1)$，而非 $2(X_n - X_1)^2$，B错误。

选项C分析

样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，根据正态总体样本方差性质：
$(n-1)S^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$，C正确（原答案中“$\chi^2(n-i)$”为笔误，应为$\chi^2(n-1)$）。

选项D分析

样本均值 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，则 $\overline{X} - \mu \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$。
标准化得：$\sqrt{n}(\overline{X} - \mu) \sim N(0,1)$，故 $[\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)]^2 = n(\overline{X} - \mu)^2 \sim \chi^2(1)$，D正确。