设 A 为五阶矩阵，且 |A|=4，则 |((1)/(4) A)^-1 - (1)/(2) A^*|= (A)(A) (1)/(2)(B) (1)/(4)(C) 8(D) 16

我们来逐步解决这个题目。

题目回顾

设 $ A $ 是五阶矩阵，且 $ |A| = 4 $，求：

$\left|\left(\frac{1}{4} A\right)^{-1} - \frac{1}{2} A^*\right|$

其中：

• $ A^* $ 表示矩阵 $ A $ 的伴随矩阵（adjugate matrix），满足 $ A A^* = A^* A = |A| I $
• $ \frac{1}{4} A $ 是将矩阵 $ A $ 的每个元素都乘以 $ \frac{1}{4} $
• $ \left(\frac{1}{4} A\right)^{-1} $ 是矩阵 $ \frac{1}{4} A $ 的逆矩阵
• $ |\cdot| $ 表示矩阵的行列式

第一步：理解伴随矩阵的性质

我们知道：

$A^* = |A| A^{-1}$

因为 $ A A^* = |A| I $，两边同时右乘 $ A^{-1} $ 得：

$A^* = |A| A^{-1}$

第二步：计算 $ \left(\frac{1}{4} A\right)^{-1} $

我们有：

$\left(\frac{1}{4} A\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{4}} A^{-1} = 4 A^{-1}$

第三步：代入表达式

现在代入原式：

$\left|\left(\frac{1}{4} A\right)^{-1} - \frac{1}{2} A^*\right| = \left|4 A^{-1} - \frac{1}{2} A^*\right|$

再用 $ A^* = |A| A^{-1} = 4 A^{-1} $ 代入：

$\left|4 A^{-1} - \frac{1}{2} \cdot 4 A^{-1}\right| = \left|4 A^{-1} - 2 A^{-1}\right| = \left|2 A^{-1}\right|$

第四步：计算 $ |2 A^{-1}| $

我们知道：

$|c A| = c^n |A| \quad \text{其中 } c \in \mathbb{R},\ n = \text{矩阵阶数}$

所以：

$|2 A^{-1}| = 2^5 |A^{-1}| = 32 \cdot |A^{-1}|$

又因为：

$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{4}$

所以：

$|2 A^{-1}| = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$

最终答案

$\boxed{8}$

✅ 正确选项是：(C) 8