题目

y(美元)和对学生的人均经费投入x(美元)。-|||-表 2-8-|||-序号 y x 序号 y x 序号 y x-|||-1 19 583 3346 18 20 816 3059 35 19 538 2642-|||-2 20 263 3114 19 18095 2967 36 20 460 3124-|||-3 20 325 3554 20 20 939 3285 37 21 419 2752-|||-4 26 800 4542 21 22 644 3914 38 25 160 3429-|||-5 29470 4669 22 24 624 4517 39 22482 3947-|||-6 26 610 4888 23 27186 4349 40 20 969 2509-|||-7 30 678 5710 24 33 990 5020 41 27 224 5440-|||-8 27170 5536 25 23 382 3594 42 25 892 4042-|||-9 25 853 4168 26 20 627 2821 43 22 644 3402-|||-10 24 500 3547 27 22795 3366 44 24 640 2829-|||-11 24 274 3159 28 21 570 2920 45 22 341 2297-|||-12 27170 3621 29 22080 2980 46 25 610 2932-|||-13 30 168 3782 30 22 250 3731 47 26015 3705-|||-14 26 525 4247 31 20 940 2853 48 25788 4123-|||-15 27 360 3982 32 21800 2533 49 29132 3608-|||-16 21 690 3568 33 22 934 2729 50 41480 8349-|||-17 21 974 3155 34 18443 2305 51 25 845 3766-|||-(1)绘制y对x的散点图。可以用直线回归描述两者之间的关系吗?-|||-(2)建立y对x的线性回归。-|||-(3)用线性回归的Plots功能绘制标准化残差的直方图和正态概率图,检验误差项的-|||-正态性假设。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查散点图的绘制与线性关系判断、线性回归模型的建立以及误差项正态性检验的能力。
解题思路：

  1. 散点图用于直观判断变量间是否存在线性趋势，若点分布大致呈直线趋势，则可用直线回归。
  2. 线性回归模型通过最小二乘法计算回归系数，得到预测方程。
  3. 残差分析通过标准化残差的直方图和正态概率图，检验误差是否服从正态分布，若散点接近直线且直方图近似正态，则假设成立。

第（1）题

绘制散点图：将y（人均教育经费）作为纵轴，x（人均GDP）作为横轴，绘制散点。
判断线性关系：观察散点分布是否大致呈直线趋势。若点分布较散但整体有上升或下降趋势，则可用直线回归。

第（2）题

建立线性回归模型：

计算回归系数

通过公式 $\hat{y} = a + bx$，其中：

  • 斜率 $b = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}$
  • 截距 $a = \frac{\sum y - b \sum x}{n}$
    代入数据计算得 $\hat{y} = 12112.6 + 3.314x$。

第（3）题

残差分析：

标准化残差直方图

若直方图近似正态分布，则误差正态性成立。本题残差略呈右偏，但偏差较小。

正态概率图

若散点近似直线，则误差服从正态分布。本题散点基本呈直线趋势，支持正态假设。