设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体 X 的一个样本，则 sigma^2 的无偏估计量是().A. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2D. overline(X)^2

本题考查总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量的概念，解题的关键在于根据无偏估计量的定义，即估计量的数学期望等于被估计的参数，分别计算各选项的数学期望，看哪个等于 $\sigma^2$。

选项A

样本方差 $S^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，下面证明它是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，即证明 $E(S^2)=\sigma^2$。

• 首先，对 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 进行变形：
  $\begin{align*}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2&=\sum_{i = 1}^{n}((X_i - \mu) - (\overline{X} - \mu))^2\\&=\sum_{i = 1}^{n}[(X_i - \mu)^2 - 2(X_i - \mu)(\overline{X} - \mu) + (\overline{X} - \mu)^2]\\&=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - 2(\overline{X} - \mu)\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu) + n(\overline{X} - \mu)^2\end{align*}$
  因为 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)=n(\overline - \mu)$，所以上式可化简为：
  $\begin{align*}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2&=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - 2n(\overline{X} - \mu)^2 + n(\overline{X} - \mu)^2\\&=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - n(\overline{X} - \mu)^2\end{align*}$
• 然后求期望：
  已知 $E(X_i - \mu)^2 = D(X_i)=\sigma^2$，$E(\overline{X} - \mu)^2 = D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}$，则
  $\begin{align*}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]&=E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - n(\overline{X} - \mu)^2\right]\\&=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i - \mu)^2 - nE(\overline{X} - \mu)^2\\&=n\sigma^2 - n\times\frac{\sigma^2}{n}\\&=(n - 1)\sigma^2\end{align*}$
• 最后求 $E(S^2)$：
  $E(S^2)=E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{1}{n - 1}\times(n - 1)\sigma^2=\sigma^2$
  所以选项A是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。

选项B

计算 $E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]$：
由前面计算可知 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=(n - 1)\sigma^2$，则
$E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{1}{n}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{n - 1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2$
所以选项B不是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。

选项C

计算 $E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right]$：
因为 $E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i)]^2=\sigma^2 + \mu^2$，所以
$E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right]=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i^2)=\frac{1}{n}\times n(\sigma^2 + \mu^2)=\sigma^2 + \mu^2\neq\sigma^2$
所以选项C不是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。

选项D

计算 $E(\overline{X}^2)$：
因为 $E(\overline{X}^2)=D(\overline{X})+[E(\overline{X})]^2=\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\neq\sigma^2$，所以选项D不是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。