题目

判断题 (2分)x(P(x) lor Q(x)) equiv xP(x) lor xQ(x). ()正确错误

判断题 (2分)

$x(P(x) \lor Q(x)) \equiv xP(x) \lor xQ(x)$. ()

正确

错误

题目解答

答案

分析 $x(P(x) \lor Q(x))$ 与 $xP(x) \lor xQ(x)$ 的关系： - $x(P(x) \lor Q(x))$ 表示“每个 $x$ 满足 $P(x)$ 或 $Q(x)$”。 - $xP(x) \lor xQ(x)$ 表示“所有 $x$ 满足 $P(x)$，或所有 $x$ 满足 $Q(x)$”。两者并不等价。例如，当 $P(a) = \text{真}$，$P(b) = \text{假}$，$Q(a) = \text{假}$，$Q(b) = \text{真}$ 时，$x(P(x) \lor Q(x)) = \text{真}$，但 $xP(x) \lor xQ(x) = \text{假}$。答案：错误。

解析

本题考查谓词逻辑中全称量词对析取运算的分配律相关知识。解题思路是分别理解两个逻辑表达式的含义，然后通过举反例来判断它们是否等价。

1. 理解两个表达式的含义

对于表达式 $\forall x(P(x) \lor Q(x))$，它表示对于论域中的每一个 $x$，$x$ 满足 $P(x)$ 或者满足 $Q(x)$。也就是说，在整个论域里，每个元素都至少满足 $P$ 和 $Q$ 这两个条件中的一个。
对于表达式 $\forall xP(x) \lor \forall xQ(x)$，它表示“所有的 $x$ 都满足 $P(x)$”或者“所有的 $x$ 都满足 $Q(x)$”。这意味着要么整个论域中的元素都满足 $P$ 条件，要么整个论域中的元素都满足 $Q$ 条件。

2. 举反例判断等价性

设论域为 $\{a, b\}$，给定赋值：$P(a) = \text{真}$，$P(b) = \text{假}$，$Q(a) = \text{假}$，$Q(b) = \text{真}$。

计算 $\forall x(P(x) \lor Q(x))$：
- 当 $x = a$ 时，$P(a) \lor Q(a)=\text{真} \lor \text{假}=\text{真}$。
- 当 $x = b$ 时，$P(b) \lor Q(b)=\text{假} \lor \text{真}=\text{真}$。
- 因为对于论域中的所有元素 $x$，$P(x) \lor Q(x)$ 都为真，所以 $\forall x(P(x) \lor Q(x))=\text{真}$。
计算 $\forall xP(x) \lor \forall xQ(x)$：
- 对于 $\forall xP(x)$，由于 $P(b) = \text{假}$，所以 $\forall xP(x)=\text{假}$。
- 对于 $\forall xQ(x)$，由于 $Q(a) = \text{假}$，所以 $\forall xQ(x)=\text{假}$。
- 那么 $\forall xP(x) \lor \forall xQ(x)=\text{假} \lor \text{假}=\text{假}$。

由于存在这样的赋值使得 $\forall x(P(x) \lor Q(x))$ 和 $\forall xP(x) \lor \forall xQ(x)$ 的真值不同，所以 $\forall x(P(x) \lor Q(x)) \not\equiv \forall xP(x) \lor \forall xQ(x)$。