题目
设级数∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1条件收敛,将其中的正项保留,负项改为0,组成的级数记为∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1;将∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1中的负项保留,正项改为0,组成的级数记为∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1,则[ ∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1 ]∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1与∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1必定都收敛; ∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1与∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1必定都发散;∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1与∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1中必定有一个收敛,另一个发散;∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1以上三种情形都可以发生。三 解答题与证明题∞-|||-∑ an-|||-_(2)=19(10分).设∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1,证明数列∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1的极限存在,并求此极限。证明:由∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1得∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1且∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1 ∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1,又∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1,∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1单调递增有界,利用极限存在准则,数列∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1的极限存在。设∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1,则∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1,而∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1且∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1单调递增故舍去∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1于是有∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1。10(12分).求级数∞-|||-∑ an-|||-_(2)=1的和。
设级数
条件收敛,将其中的正项保留,负项改为0,组成的级数记为
;将中的负项保留,正项改为0,组成的级数记为
,则[ 
]
与必定都收敛; 与必定都发散;
与中必定有一个收敛,另一个发散;
以上三种情形都可以发生。
三 解答题与证明题
9(10分).设
,证明数列
的极限存在,并求此极限。
证明:由
得
且
,
又
,
单调递增有界,利用极限存在准则,数列的极限存在。
设
,则
,而且单调递增
故舍去
于是有
。
10(12分).求级数
的和。
题目解答
答案
解:显然级数收敛,故
=
,也即
=
。
下面计算。考虑幂级数
,并令
。显然幂级数的收敛半径为1,在区间(-1,1)内可以逐项积分。故
,从而
,
。故
。于是=
。
11(14分).把下列函数展开为幂级数并指出收敛域。
(1);
解
当时,
是莱布尼茨交错级数,因而收敛
所以 
(2)把展开为
幂级数。
。
12(12分).证明定理:如果存在一个收敛的正项级数
,使得对所有的,都有
,则函数项级数
在上一致收敛。
证明:
收敛,
,…………4
从而
……6
从而
…….8
根据Cauchy收敛准则,级数
在区间一致收敛。…………………….12
13(12分).设函数
以2为周期, 当
时求的Fourier级数。
解:由定义,的Fourier级数为,其中
当
;
;
最后
。所以
的Fourier级数为
。
14(8分).证明函数项级数
在区间不一致收敛。
