题目
4.设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,2),且相互独立,则下列结论正确的是( )A. (1)/(3)X^2+ (2)/(3)Y^2服从x²分布B. (1)/(2)X^2+ (1)/(2)Y^2服从x²分布C. (1)/(3)(X+Y)^2服从x²分布D. (1)/(2)(X+Y)^2服从x²分布
4.设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,2),且相互独立,则下列结论正确的是( )
A. $\frac{1}{3}X^{2}+ \frac{2}{3}Y^{2}$服从x²分布
B. $\frac{1}{2}X^{2}+ \frac{1}{2}Y^{2}$服从x²分布
C. $\frac{1}{3}(X+Y)^{2}$服从x²分布
D. $\frac{1}{2}(X+Y)^{2}$服从x²分布
题目解答
答案
C. $\frac{1}{3}(X+Y)^{2}$服从x²分布
解析
步骤 1：分析选项A
$X^2 \sim \chi^2(1)$，$Y^2 \sim 2\chi^2(1)$。系数不同时，线性组合不满足$\chi^2$分布。因此，$\frac{1}{3}X^{2}+ \frac{2}{3}Y^{2}$不满足$\chi^2$分布。
步骤 2：分析选项B
$X^2 \sim \chi^2(1)$，$Y^2 \sim 2\chi^2(1)$。系数不同时，线性组合不满足$\chi^2$分布。因此，$\frac{1}{2}X^{2}+ \frac{1}{2}Y^{2}$不满足$\chi^2$分布。
步骤 3：分析选项C
$X+Y \sim N(0,3)$，令 $Z = \frac{X+Y}{\sqrt{3}}$，则 $Z \sim N(0,1)$。 $\frac{(X+Y)^2}{3} = Z^2 \sim \chi^2(1)$，满足条件。
步骤 4：分析选项D
$\frac{(X+Y)^2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{(X+Y)^2}{3}$，系数不为1，不服从$\chi^2$分布。
$X^2 \sim \chi^2(1)$，$Y^2 \sim 2\chi^2(1)$。系数不同时，线性组合不满足$\chi^2$分布。因此，$\frac{1}{3}X^{2}+ \frac{2}{3}Y^{2}$不满足$\chi^2$分布。
步骤 2：分析选项B
$X^2 \sim \chi^2(1)$，$Y^2 \sim 2\chi^2(1)$。系数不同时，线性组合不满足$\chi^2$分布。因此，$\frac{1}{2}X^{2}+ \frac{1}{2}Y^{2}$不满足$\chi^2$分布。
步骤 3：分析选项C
$X+Y \sim N(0,3)$，令 $Z = \frac{X+Y}{\sqrt{3}}$，则 $Z \sim N(0,1)$。 $\frac{(X+Y)^2}{3} = Z^2 \sim \chi^2(1)$，满足条件。
步骤 4：分析选项D
$\frac{(X+Y)^2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{(X+Y)^2}{3}$，系数不为1，不服从$\chi^2$分布。