题目
设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= leqslant xleqslant theta +dfrac {1)(2) 0,else .的矩估计和极大似然估计。
设总体 X 的概率密度函数为 
,
为未知参数，
为X的简单随机样本，试求的矩估计和极大似然估计。
题目解答
答案
解：矩估计：
，令
,故
.所以的矩估计量。
极大似然估计：
设
为的观测值，则似然函数为
,即
，可得当
时，都有
,故的最大似然估计
是
中任何一个值。
解析
步骤 1：矩估计
首先，我们需要计算总体 X 的期望值 E(X)。根据概率密度函数 f(x)，我们可以计算出 E(X)。
步骤 2：计算 E(X)
E(X) = ∫x·f(x)dx = ∫_{θ-1/2}^{θ+1/2} x·1dx = [1/2x^2]_{θ-1/2}^{θ+1/2} = (θ+1/2)^2 - (θ-1/2)^2 = θ。
步骤 3：矩估计量
令样本均值 X̄ = E(X)，则矩估计量为 θ̂ = X̄。
步骤 4：极大似然估计
设 x1, x2, ..., xn 为 X1, X2, ..., Xn 的观测值，则似然函数为 L(θ) = ∏_{i=1}^{n} f(xi)。
步骤 5：计算似然函数
L(θ) = ∏_{i=1}^{n} 1 = 1，当且仅当 θ - 1/2 < xi < θ + 1/2 对所有 i 成立。
步骤 6：极大似然估计量
为了使 L(θ) 最大，θ 应该在 x(n) - 1/2 和 x(1) + 1/2 之间，其中 x(n) 和 x(1) 分别是样本中的最大值和最小值。
首先，我们需要计算总体 X 的期望值 E(X)。根据概率密度函数 f(x)，我们可以计算出 E(X)。
步骤 2：计算 E(X)
E(X) = ∫x·f(x)dx = ∫_{θ-1/2}^{θ+1/2} x·1dx = [1/2x^2]_{θ-1/2}^{θ+1/2} = (θ+1/2)^2 - (θ-1/2)^2 = θ。
步骤 3：矩估计量
令样本均值 X̄ = E(X)，则矩估计量为 θ̂ = X̄。
步骤 4：极大似然估计
设 x1, x2, ..., xn 为 X1, X2, ..., Xn 的观测值，则似然函数为 L(θ) = ∏_{i=1}^{n} f(xi)。
步骤 5：计算似然函数
L(θ) = ∏_{i=1}^{n} 1 = 1，当且仅当 θ - 1/2 < xi < θ + 1/2 对所有 i 成立。
步骤 6：极大似然估计量
为了使 L(θ) 最大，θ 应该在 x(n) - 1/2 和 x(1) + 1/2 之间，其中 x(n) 和 x(1) 分别是样本中的最大值和最小值。