证明题 23.证明:方程 2x- arctan x-1=0 在(0,1)上有且 仅有一个实根.(7分) 请输入内容或上传图片…

考查要点：本题主要考查利用连续函数的中间值定理和单调性证明方程在指定区间内存在唯一实根的方法。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式，便于分析其性质。
2. 验证连续性：确认函数在闭区间上连续，为应用中间值定理奠定基础。
3. 计算端点值：通过端点函数值的符号差异，结合中间值定理，证明至少存在一个零点。
4. 分析单调性：通过求导判断函数在区间内的单调性，从而证明零点的唯一性。

破题关键点：

• 函数构造：定义 $f(x) = 2x - \arctan x - 1$。
• 端点值计算：明确 $f(0) < 0$ 和 $f(1) > 0$。
• 导数分析：证明 $f'(x) > 0$ 在 $(0,1)$ 内恒成立，确保函数严格递增。

步骤1：构造函数并验证连续性

定义函数 $f(x) = 2x - \arctan x - 1$。
由于 $\arctan x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导，因此 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且可导。

步骤2：计算端点值

• 当 $x = 0$ 时：
  $f(0) = 2 \cdot 0 - \arctan 0 - 1 = -1 < 0.$
• 当 $x = 1$ 时：
  $f(1) = 2 \cdot 1 - \arctan 1 - 1 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 1 - 0.785 > 0.$

结论：$f(0) < 0$ 且 $f(1) > 0$，根据中间值定理，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点。

步骤3：分析函数单调性

求导得：
$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2}.$
在区间 $(0,1)$ 内，$x^2 < 1$，因此：
$1 + x^2 < 2 \implies \frac{1}{1 + x^2} > \frac{1}{2}.$
从而：
$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} > 2 - 1 = 1 > 0.$
结论：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内严格递增，故零点唯一。