题目
2.设随机变量X~N(0,1),令Y=-2X-2,则Y~( ).A. N(-2,-4)B. N(0,1)C. N(-2,4)D. N(2,4)
2.设随机变量X~N(0,1),令Y=-2X-2,则Y~( ).
A. N(-2,-4)
B. N(0,1)
C. N(-2,4)
D. N(2,4)
题目解答
答案
C. N(-2,4)
解析
步骤 1：计算Y的均值
给定 $ X \sim N(0,1) $，即 $ X $ 的均值 $ \mu_X = 0 $，方差 $ \sigma_X^2 = 1 $。令 $ Y = -2X - 2 $，则 $ Y $ 的均值 $ \mu_Y $ 可以通过线性变换的性质计算得到：\[ \mu_Y = E(Y) = E(-2X - 2) = -2E(X) - 2 = -2 \times 0 - 2 = -2 \]
步骤 2：计算Y的方差
$ Y $ 的方差 $ \sigma_Y^2 $ 可以通过线性变换的性质计算得到：\[ \sigma_Y^2 = \text{Var}(Y) = \text{Var}(-2X - 2) = (-2)^2 \times \text{Var}(X) = 4 \times 1 = 4 \]
步骤 3：确定Y的分布
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，$ Y $ 的均值为 $ -2 $，方差为 $ 4 $，因此 $ Y $ 服从正态分布 $ N(-2,4) $。
给定 $ X \sim N(0,1) $，即 $ X $ 的均值 $ \mu_X = 0 $，方差 $ \sigma_X^2 = 1 $。令 $ Y = -2X - 2 $，则 $ Y $ 的均值 $ \mu_Y $ 可以通过线性变换的性质计算得到：\[ \mu_Y = E(Y) = E(-2X - 2) = -2E(X) - 2 = -2 \times 0 - 2 = -2 \]
步骤 2：计算Y的方差
$ Y $ 的方差 $ \sigma_Y^2 $ 可以通过线性变换的性质计算得到：\[ \sigma_Y^2 = \text{Var}(Y) = \text{Var}(-2X - 2) = (-2)^2 \times \text{Var}(X) = 4 \times 1 = 4 \]
步骤 3：确定Y的分布
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，$ Y $ 的均值为 $ -2 $，方差为 $ 4 $，因此 $ Y $ 服从正态分布 $ N(-2,4) $。