题目

50、填空 若(X,Y)~N(1,4,4,9,0)，则E(XY²)=____。

50、填空 若(X,Y)~N(1,4,4,9,0)，则E(XY²)=____。

题目解答

答案

由题意知，$X$ 和 $Y$ 独立（相关系数 $\rho = 0$），且 $E(X) = 1$，$E(Y) = 4$，$\text{Var}(Y) = 9$。利用方差公式求 $E(Y^2)$： \[ \text{Var}(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 \implies 9 = E(Y^2) - 16 \implies E(Y^2) = 25 \] 由于 $X$ 和 $Y$ 独立，有： \[ E(XY^2) = E(X)E(Y^2) = 1 \times 25 = 25 \] **答案：** $\boxed{25}$

解析

考查要点：本题主要考查二维正态分布的性质、独立随机变量的期望性质以及方差的计算。

解题核心思路：

  1. 识别独立性：由于相关系数 $\rho = 0$，且变量服从正态分布，因此 $X$ 和 $Y$ 独立。
  2. 分解期望：利用独立性，将 $E(XY^2)$ 分解为 $E(X) \cdot E(Y^2)$。
  3. 计算 $E(Y^2)$：通过方差公式 $\text{Var}(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$ 求解。

破题关键点：

  • 独立性的应用：独立随机变量的乘积期望等于期望的乘积。
  • 方差与二阶矩的关系：通过已知方差和均值计算二阶矩 $E(Y^2)$。

  1. 确定变量独立性
    题目中给出相关系数 $\rho = 0$，且 $(X,Y)$ 服从二维正态分布。根据正态分布的性质，不相关等价于独立，因此 $X$ 和 $Y$ 独立。

  2. 分解期望 $E(XY^2)$
    由于 $X$ 和 $Y$ 独立，且 $Y^2$ 是 $Y$ 的函数，因此 $X$ 与 $Y^2$ 也独立。根据期望的乘法性质：
    $E(XY^2) = E(X) \cdot E(Y^2)$

  3. 计算 $E(Y^2)$
    已知 $\text{Var}(Y) = 9$，$E(Y) = 4$，根据方差公式：
    $\text{Var}(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$
    代入数值：
    $9 = E(Y^2) - 4^2 \implies E(Y^2) = 9 + 16 = 25$

  4. 最终计算
    将 $E(X) = 1$ 和 $E(Y^2) = 25$ 代入分解后的期望：
    $E(XY^2) = 1 \times 25 = 25$