题目
14.填空题设随机变量X的期望和方差分别为μ,σ²，则由切比雪夫不等式估计P(|X-μ|geq2σ)≤_._(答案请用小数表示并保留二位小数)
14.填空题
设随机变量X的期望和方差分别为μ,σ²，则由切比雪夫不等式估计
$P(|X-μ|\geq2σ)≤_.$
_(答案请用小数表示并保留二位小数)
题目解答
答案
为了使用切比雪夫不等式估计 $ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) $，我们首先回顾切比雪夫不等式的陈述。切比雪夫不等式表明，对于任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限非零方差 $\sigma^2$ 的随机变量 $X$，以及任何正实数 $k$，
\[ P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \]
在这个问题中，我们被要求找到 $ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) $ 的估计值。这里，$ k = 2 $。将 $ k = 2 $ 代入切比雪夫不等式，我们得到
\[ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25. \]
因此，由切比雪夫不等式估计的 $ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) $ 的值是 $\boxed{0.25}$。
解析
步骤 1：回顾切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限非零方差 $\sigma^2$ 的随机变量 $X$，以及任何正实数 $k$，有 \[ P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \]
步骤 2：应用切比雪夫不等式
在这个问题中，我们被要求找到 $ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) $ 的估计值。这里，$ k = 2 $。将 $ k = 2 $ 代入切比雪夫不等式，我们得到 \[ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25. \]
切比雪夫不等式表明，对于任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限非零方差 $\sigma^2$ 的随机变量 $X$，以及任何正实数 $k$，有 \[ P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \]
步骤 2：应用切比雪夫不等式
在这个问题中，我们被要求找到 $ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) $ 的估计值。这里，$ k = 2 $。将 $ k = 2 $ 代入切比雪夫不等式，我们得到 \[ P(|X-\mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25. \]