题目
5.设Xsim N(0,1)，Ysim N(1,1)，且X与Y相互独立，则（ ）A. PX+Yleq0=(1)/(2)B. PX+Yleq1=(1)/(2)C. PX-Yleq0=(1)/(2)D. PX-Yleq1=(1)/(2)
5.设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(1,1)$，且X与Y相互独立，则（ ）
A. $P\{X+Y\leq0\}=\frac{1}{2}$
B. $P\{X+Y\leq1\}=\frac{1}{2}$
C. $P\{X-Y\leq0\}=\frac{1}{2}$
D. $P\{X-Y\leq1\}=\frac{1}{2}$
题目解答
答案
B. $P\{X+Y\leq1\}=\frac{1}{2}$
解析
步骤 1：计算 $X+Y$ 的分布
由于 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim N(1,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，根据正态分布的性质，$X+Y$ 也服从正态分布，其均值为 $0+1=1$，方差为 $1+1=2$，因此 $X+Y \sim N(1,2)$。
步骤 2：计算 $X-Y$ 的分布
同样地，$X-Y$ 也服从正态分布，其均值为 $0-1=-1$，方差为 $1+1=2$，因此 $X-Y \sim N(-1,2)$。
步骤 3：计算概率
对于 $X+Y$，由于其均值为 1，标准差为 $\sqrt{2}$，$P\{X+Y \leq 1\} = \frac{1}{2}$（因为 1 是均值）。
对于 $X-Y$，由于其均值为 -1，标准差为 $\sqrt{2}$，$P\{X-Y \leq -1\} = \frac{1}{2}$（因为 -1 是均值），但选项中无此形式。
由于 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim N(1,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，根据正态分布的性质，$X+Y$ 也服从正态分布，其均值为 $0+1=1$，方差为 $1+1=2$，因此 $X+Y \sim N(1,2)$。
步骤 2：计算 $X-Y$ 的分布
同样地，$X-Y$ 也服从正态分布，其均值为 $0-1=-1$，方差为 $1+1=2$，因此 $X-Y \sim N(-1,2)$。
步骤 3：计算概率
对于 $X+Y$，由于其均值为 1，标准差为 $\sqrt{2}$，$P\{X+Y \leq 1\} = \frac{1}{2}$（因为 1 是均值）。
对于 $X-Y$，由于其均值为 -1，标准差为 $\sqrt{2}$，$P\{X-Y \leq -1\} = \frac{1}{2}$（因为 -1 是均值），但选项中无此形式。