设 alpha_1, alpha_2, ..., alpha_s 和 beta_1, beta_2, ..., beta_t 是两个 n 维向量组, 且两个向量组的秩都是 r, 则 ()A. 向量组 alpha_1, alpha_2, ..., alpha_s, beta_1, beta_2, ..., beta_t 的秩也是 rB. 两个向量组等价:C. 当 s = t 时, 两个向量组等价D. 当 alpha_1, alpha_2, ..., alpha_s 可由 beta_1, beta_2, ..., beta_t 线性表示时, beta_1, beta_2, ..., beta_t 也可由 alpha_1, alpha_2, ..., alpha_s 线性表示

本题主要考查向量组的秩、向量组等价以及线性表示之间的关系。解题的关键在于理解向量组秩的性质、向量组等价的定义以及线性表示与秩的联系。

选项A分析

设向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$的极大线性无关组为$\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$，向量组$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$的极大线性无关组为$\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \cdots, \beta_{j_r}$。
向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。
由于$\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$和$\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \cdots, \beta_{j_r}$不一定能构成向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$的极大线性无关组，所以向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$的秩可能大于$r$。
例如，$\alpha_1=(1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1)^T$，$\beta_1=(1,0)^T$，$\beta_2=(0,1)^T$，$\beta_3=(1,1)^T$，$\alpha_1, \alpha_2$的秩为$2$，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$的秩也为$2$，但向量组$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \beta_3$的秩还是$2$；若$\alpha_1=(1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1)^T$，$\beta_1=(1,0)^T$，$\beta_2=(0,0)^T$，$\alpha_1, \alpha_2$的秩为$2$，$\beta_1, \beta_2$的秩为$1$，向量组$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$的秩为$2$，所以选项A错误。

选项B分析

两个向量组等价是指它们可以相互线性表示。仅知道两个向量组的秩相等，并不能得出它们可以相互线性表示。
例如，$\alpha_1=(1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1)^T$，$\beta_1=(1,0)^T$，$\beta_2=(0,0)^T$，$\alpha_1, \alpha_2$的秩为$2$，$\beta_1, \beta_2$的秩为$1$，显然它们不等价，所以选项B错误。

选项C分析

当$s = t$时，同样不能仅根据向量组的秩相等就得出两个向量组等价。
例如，$\alpha_1=(1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1)^T$，$\beta_1=(1,0)^T$，$\beta_2=(0,0)^T$，$s=t = 2$，但它们不等价，所以选项C错误。

选项D分析

已知$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$可由$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$线性表示，根据线性表示与秩的关系可知$R(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s) \leq R(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)$。
又因为已知$R(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)=R(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)=r$，所以$R(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)=R(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)=R(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t)=r$。
这意味着$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$的极大线性无关组和$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$的极大线性无关组都是向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$的极大线性无关组，所以$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$也可由$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$线性表示，选项D正确。