若随机变量 X, Y 相互独立，均服从标准正态分布 N(0,1)，则 2X - Y + 1 sim ()。A. N(0,1)B. N(1,1)C. N(0,5)D. N(1,5)

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，特别是独立随机变量的线性组合的期望与方差计算。

解题核心思路：

1. 线性变换保持正态性：若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，则$aX + b \sim N(a\mu_X + b, a^2\sigma_X^2)$。
2. 独立变量的线性组合：若$X$与$Y$独立，则$aX + bY \sim N(a\mu_X + b\mu_Y, a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2)$。
3. 常数项的影响：常数项仅改变期望，对方差无影响。

破题关键点：

• 拆分表达式：将$2X - Y + 1$拆分为线性组合$2X - Y$和常数项$1$。
• 分步计算：先计算线性组合的期望和方差，再结合常数项得到最终结果。

步骤1：计算期望

根据线性性质：
$E[2X - Y + 1] = 2E[X] - E[Y] + 1 = 2 \cdot 0 - 0 + 1 = 1.$

步骤2：计算方差

由于$X$与$Y$独立，方差可加：
$\begin{aligned}\text{Var}(2X - Y + 1) &= \text{Var}(2X - Y) \\&= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-Y) \\&= 2^2 \cdot \text{Var}(X) + (-1)^2 \cdot \text{Var}(Y) \\&= 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 5.\end{aligned}$

结论

$2X - Y + 1$服从均值为$1$，方差为$5$的正态分布，即$N(1, 5)$。