题型五：用中心极限定理（相互独立的随机变量的和服从正态分布）求概率1.计算机在进行加法时每个加数取整数（取最接近它的整数）。设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在[-0.5,0.5]上都服从均匀分布。若将4800个数相加，求误差总和的绝对值不超过10的概率(Phi(0.5)=0.6915,Phi(1)=0.8413,Phi(2)=0.9772)

为了求解4800个数相加时，误差总和的绝对值不超过10的概率，我们可以使用中心极限定理。中心极限定理指出，相互独立的随机变量的和在样本数量足够大时近似服从正态分布。 首先，设每个加数的取整误差为 $X_i$，其中 $i = 1, 2, \ldots, 4800$。每个 $X_i$ 都在 $[-0.5, 0.5]$ 上服从均匀分布。对于均匀分布 $U(a, b)$，其期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为： \[ E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{-0.5 + 0.5}{2} = 0, \] \[ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12}. \] 设 $S$ 为4800个误差的总和，即 $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{4800}$。根据期望和方差的性质，我们有： \[ E(S) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{4800}) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{4800}) = 0, \] \[ D(S) = D(X_1 + X_2 + \cdots + X_{4800}) = D(X_1) + D(X_2) + \cdots + D(X_{4800}) = 4800 \times \frac{1}{12} = 400. \] 根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$S$ 近似服从正态分布 $N(0, 400)$。我们要求的是 $|S| \leq 10$ 的概率，即 $P(-10 \leq S \leq 10)$。为了使用标准正态分布表，我们需要将 $S$ 标准化。设 $Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt{D(S)}} = \frac{S}{20}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。因此， \[ P(-10 \leq S \leq 10) = P\left(\frac{-10}{20} \leq Z \leq \frac{10}{20}\right) = P(-0.5 \leq Z \leq 0.5). \] 根据标准正态分布的对称性，我们有： \[ P(-0.5 \leq Z \leq 0.5) = 2\Phi(0.5) - 1. \] 已知 $\Phi(0.5) = 0.6915$，代入上式得： \[ P(-0.5 \leq Z \leq 0.5) = 2 \times 0.6915 - 1 = 0.3830. \] 因此，误差总和的绝对值不超过10的概率为 $\boxed{0.3830}$。