题目

13.如图所示,在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面,其上分别均匀-|||-带有电荷 +9 和 -39. 今将一电荷为 +a 的带电粒子从内球面处由静止释放,则-|||-粒子到达外球面时的动能为: ()-|||--3q-|||-(A) dfrac (Qq)(4pi {varepsilon )_(0)R} (B) dfrac (Qq)(2pi {varepsilon )_(0)R} +q-|||-Q-|||-R-|||-(C) dfrac (Qq)(8pi {varepsilon )_(0)R} (D) dfrac (3circled {9)}(8pi {varepsilon )_(0)R} 2R

题目解答

答案

解析

本题考查静电场中的电势差计算和动能定理的应用。关键点在于：

  1. 高斯定理的应用：确定两球面之间的电场强度；
  2. 电势差的计算：通过电场强度的积分求解；
  3. 动能定理：电场力做功等于动能的增量。

破题关键：

  • 内球面电荷产生的电场决定中间区域的场强；
  • 电势差需从内球面到外球面积分场强；
  • 电场力做功转化为动能。

步骤1：求中间区域的电场强度

根据高斯定理，取半径 $r$（$R < r < 2R$）的同心球面为高斯面，包围的电荷为内球面的 $+q$，则：
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}.$

步骤2：计算电势差

电势差 $U$ 为内球面（$R$）到外球面（$2R$）的积分：
$U = -\int_{R}^{2R} E \, dr = -\int_{R}^{2R} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \, dr = \frac{q}{8\pi \varepsilon_0 R}.$

步骤3：应用动能定理

电场力做功 $W = Q \cdot U$，由动能定理得：
$E_k = W = \frac{Qq}{8\pi \varepsilon_0 R}.$