题目

、求函数sin(2z^3)的幂级数展开式。

、求函数$\sin(2z^{3})$的幂级数展开式。

题目解答

答案

已知 $\sin x$ 的幂级数展开式为： \[ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] 将 $x$ 替换为 $2z^3$，得： \[ \sin(2z^3) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2z^3)^{2n+1}}{(2n+1)!} \] 化简指数部分： \[ (2z^3)^{2n+1} = 2^{2n+1} z^{6n+3} \] 因此，$\sin(2z^3)$ 的幂级数展开式为： \[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{6n+3}} \] 或者等价表示为： \[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2z^3)^{2n+1}}{(2n+1)!}} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数的幂级数展开方法，特别是利用已知基本函数的展开式进行变量替换的能力。

解题核心思路：

  1. 利用已知函数$\sin x$的幂级数展开式，将其变量$x$替换为$2z^3$。
  2. 代入后对表达式进行化简，重点处理指数部分的运算，确保符号和系数正确。

破题关键点：

  • 正确替换变量：将$x$替换为$2z^3$时，需注意整体代入，避免遗漏括号。
  • 指数运算的准确性：展开$(2z^3)^{2n+1}$时，需分别对系数$2$和变量$z^3$进行幂运算。

  1. 已知$\sin x$的幂级数展开式：
    $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

  2. 变量替换：
    将$x$替换为$2z^3$，得到：
    $\sin(2z^3) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2z^3)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

  3. 化简指数部分：
    $(2z^3)^{2n+1} = 2^{2n+1} \cdot (z^3)^{2n+1} = 2^{2n+1} z^{6n+3}$

  4. 代入化简结果：
    将化简后的表达式代入原式，得到最终展开式：
    $\sin(2z^3) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{6n+3}$