题目
设随机变量_(1),(X)_(2),(X)_(3)是来自正态总体_(1),(X)_(2),(X)_(3)的样本，则当_(1),(X)_(2),(X)_(3)时，_(1),(X)_(2),(X)_(3)是总体均值_(1),(X)_(2),(X)_(3)的无偏估计。A._(1),(X)_(2),(X)_(3)B._(1),(X)_(2),(X)_(3)C._(1),(X)_(2),(X)_(3)D._(1),(X)_(2),(X)_(3)
设随机变量
是来自正态总体
的样本，则当
时，
是总体均值
的无偏估计。
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由题意得，随机变量是来自正态总体的样本，根据无偏估计量的性质得，
，则
，故选项是D。
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于正态总体$X\sim N(\mu ,1)$，样本均值$\bar{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
步骤 2：计算给定估计量的期望值
给定估计量为$\hat{\mu} = \dfrac{1}{6}X_1 + \dfrac{1}{3}X_2 + aX_3$，其中$X_1, X_2, X_3$是来自正态总体$X\sim N(\mu ,1)$的样本。根据无偏估计量的性质，我们有$E(\hat{\mu}) = E(\dfrac{1}{6}X_1 + \dfrac{1}{3}X_2 + aX_3) = \dfrac{1}{6}E(X_1) + \dfrac{1}{3}E(X_2) + aE(X_3)$。由于$X_1, X_2, X_3$都是来自正态总体$X\sim N(\mu ,1)$的样本，所以$E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$。因此，$E(\hat{\mu}) = \dfrac{1}{6}\mu + \dfrac{1}{3}\mu + a\mu = (\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + a)\mu$。
步骤 3：确定a的值
为了使$\hat{\mu}$成为$\mu$的无偏估计量，我们需要$E(\hat{\mu}) = \mu$。因此，$(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + a)\mu = \mu$。解这个方程，我们得到$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + a = 1$。化简得$a = 1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于正态总体$X\sim N(\mu ,1)$，样本均值$\bar{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
步骤 2：计算给定估计量的期望值
给定估计量为$\hat{\mu} = \dfrac{1}{6}X_1 + \dfrac{1}{3}X_2 + aX_3$，其中$X_1, X_2, X_3$是来自正态总体$X\sim N(\mu ,1)$的样本。根据无偏估计量的性质，我们有$E(\hat{\mu}) = E(\dfrac{1}{6}X_1 + \dfrac{1}{3}X_2 + aX_3) = \dfrac{1}{6}E(X_1) + \dfrac{1}{3}E(X_2) + aE(X_3)$。由于$X_1, X_2, X_3$都是来自正态总体$X\sim N(\mu ,1)$的样本，所以$E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$。因此，$E(\hat{\mu}) = \dfrac{1}{6}\mu + \dfrac{1}{3}\mu + a\mu = (\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + a)\mu$。
步骤 3：确定a的值
为了使$\hat{\mu}$成为$\mu$的无偏估计量，我们需要$E(\hat{\mu}) = \mu$。因此，$(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + a)\mu = \mu$。解这个方程，我们得到$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + a = 1$。化简得$a = 1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$。