题目
计算下列二重积分:-|||-(2) iint ((x)^2+(y)^2-x)dxdy, 其中D是由直线 =2, y=x 及 y=2x 所围成的-|||-闭区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
由直线 y=2, y=x, y=2x 所围成的闭区域D，首先画出积分区域D的草图。由图可知，若将D投影到x轴上，则D划分为两个子区域，需计算两个二重积分，这样麻烦。现将D投影到y轴上，那么积分区域D可用不等式表示为 D: $\dfrac {y}{2}\leqslant x\leqslant y$ $0\leqslant y\leqslant 2$ 。
步骤 2：选择积分次序
选择先对x积分后对y积分的积分次序，有 $\iint ({x}^{2}+{y}^{2}-x)dxdy={\int }_{0}^{2}dy{\int }_{\dfrac {y}{2}}^{y}({x}^{2}+{y}^{2}-x)dx$ 。
步骤 3：计算二重积分
计算二重积分，有 ${\int }_{0}^{2}dy{\int }_{\dfrac {y}{2}}^{y}({x}^{2}+{y}^{2}-x)dx={\int }_{0}^{2}{[ \dfrac {1}{3}{x}^{3}+x{y}^{2}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}] }^{y}_{\dfrac {y}{2}}dy$ $={[ \dfrac {19}{24}{y}^{4}-\dfrac {1}{8}{y}^{3}] }^{2}_{0}=\dfrac {19}{96}\times 16-1=\dfrac {13}{6}$ 。
由直线 y=2, y=x, y=2x 所围成的闭区域D，首先画出积分区域D的草图。由图可知，若将D投影到x轴上，则D划分为两个子区域，需计算两个二重积分，这样麻烦。现将D投影到y轴上，那么积分区域D可用不等式表示为 D: $\dfrac {y}{2}\leqslant x\leqslant y$ $0\leqslant y\leqslant 2$ 。
步骤 2：选择积分次序
选择先对x积分后对y积分的积分次序，有 $\iint ({x}^{2}+{y}^{2}-x)dxdy={\int }_{0}^{2}dy{\int }_{\dfrac {y}{2}}^{y}({x}^{2}+{y}^{2}-x)dx$ 。
步骤 3：计算二重积分
计算二重积分，有 ${\int }_{0}^{2}dy{\int }_{\dfrac {y}{2}}^{y}({x}^{2}+{y}^{2}-x)dx={\int }_{0}^{2}{[ \dfrac {1}{3}{x}^{3}+x{y}^{2}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}] }^{y}_{\dfrac {y}{2}}dy$ $={[ \dfrac {19}{24}{y}^{4}-\dfrac {1}{8}{y}^{3}] }^{2}_{0}=\dfrac {19}{96}\times 16-1=\dfrac {13}{6}$ 。