题目
将一枚硬币重复投掷n次，用X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X和Y的相关系数等于()。A. -1B. 0C. 1／2D. 1
将一枚硬币重复投掷n次，用X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X和Y的相关系数等于()。
A. -1
B. 0
C. 1／2
D. 1
题目解答
答案
A. -1
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为正面朝上的次数，Y为反面朝上的次数。由于每次投掷硬币只有两种结果，正面或反面，因此X和Y满足X + Y = n，其中n为投掷次数。
步骤 2：计算相关系数
相关系数ρ(X,Y)定义为协方差Cov(X,Y)除以X和Y的标准差的乘积，即ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X * σ_Y)。由于X和Y满足X + Y = n，可以推导出Cov(X,Y) = -Var(X) = -Var(Y)。因此，ρ(X,Y) = -1。
步骤 3：验证结果
根据步骤2的推导，X和Y的相关系数为-1，表示X和Y完全负相关，即X增加时Y减少，X减少时Y增加。
设X为正面朝上的次数，Y为反面朝上的次数。由于每次投掷硬币只有两种结果，正面或反面，因此X和Y满足X + Y = n，其中n为投掷次数。
步骤 2：计算相关系数
相关系数ρ(X,Y)定义为协方差Cov(X,Y)除以X和Y的标准差的乘积，即ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X * σ_Y)。由于X和Y满足X + Y = n，可以推导出Cov(X,Y) = -Var(X) = -Var(Y)。因此，ρ(X,Y) = -1。
步骤 3：验证结果
根据步骤2的推导，X和Y的相关系数为-1，表示X和Y完全负相关，即X增加时Y减少，X减少时Y增加。